2022年湖南省湘潭市韶山如意镇中学高三数学理期末试卷含解析

2022年湖南省湘潭市韶山如意镇中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆(0<b<2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为()．A．8

B．4

C．2

D．1参考答案：C2.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为5、2，则输出的（

）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：C第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环输出，选C.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.3.已知,则下列不等式中总成立的是

A B

C.

D

参考答案：A略4.下列各式：①|a|＝；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③－＝；④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则＋＝2；⑤a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b)．其中正确的个数为

()A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C略5.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，，令.下面说法错误的是(

).A．若共线，则

B．C.

D．对任意的参考答案：B6.已知时，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略7.已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（A）①③

（B）①④

（C）②④

（D）②③参考答案：8.已知平面向量，，则

A．-10

B．10

C．-20

D．20参考答案：A略9.（2016郑州一测）按如下的程序框图，若输出结果为273，则判断框？处应补充的条件为（

）

A． B． C． D．参考答案：B．10.函数的图像大致形状是（

）参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知。则＝＿＿＿＿＿；参考答案：12.设不等式组所表示的平面区域为S，若A、B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．参考答案：13.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．参考答案：略14.已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为

．参考答案：【解析】：15.设0<θ<π，，则sin(1+cosθ)的最大值是

．参考答案：解：令y=sin(1+cosθ)>0，则y2=4sin2cos4=2·2sin2cos2cos2≤2()3．

∴y≤．当tan=时等号成立．16.向量＝(－1，2)在＝(3，4)方向上的投影等于

.参考答案：117.设函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a在实数范围内变化时，在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点的全体组成的图形的面积为．参考答案：【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，分析可得函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象，进而可得在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的，由圆的面积公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于函数fa（x）=|x|+|x﹣a|，当a变化时，其图象为在圆盘x2+y2≤1内，且不在任一fa（x）的图象上的点单位圆的，则其面积S=×π=；故答案为：．【点评】本题考查函数的图象，关键是分析函数fa（x）=|x|+|x﹣a|（当a在实数范围内变化）的图象．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（）.（1）求函数的单调区间;(2）函数的图像在处的切线的斜率为若函数，在区间（1，3）上不是单调函数，求的取值范围参考答案：解：（I）

……2分当

即

f(x)的单调递增区间为（0，）,单调递减区间为（,

………4分当

，

即

f(x)的单调递增区间为（,,单调递减区间为（0，）……6分（II）得

……7分+3

……8分

………9分

……10分……12分

即：

……12分19.已知数列的前n项和为，）

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求证：当时，参考答案：20.（本小题10分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合.若直线的极坐标方程为.已知点在椭圆：上，求点到直线的距离的最大值.参考答案：直线的极坐标方程为，则……4分设，其中点到直线的距离，其中所以当时，的最大值为…………10分21.（2017?深圳一模）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．（1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的概率分布列为：Y2575140220310410P0.10.20.30.20.150.05所以随机变量Y的数学期望EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.

已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3,2)时，f(x)＞0，当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0.(1)求f(x)在0,1内的值域；(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R?参考答案：由题意知f(x)的图象是开口向下，交x轴于两点A(－3,0)和B(2,0)的抛物线，对称轴方程为x＝－(如图)．那么，当x＝－3和x＝2时，有y＝0，代入原式