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第三章3.2.2奇偶性第一课时奇偶性的概念引入课题:1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,求f(0),f(-1),f(1)f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)3=-8f(2)=8f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1f(1)=1

f(-x)=(-x)3=-x3思考:函数图象上横坐标互为相反数的点的纵坐标有什么关系?

f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)学习目标XUEXIMUBIAO1.了解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题.1知识梳理PARTONEPARTONE

2、具有奇偶性的函数,其定义域有何特点?阅读课本P82--84,并思考下列问题:1、函数奇偶性的定义?知识点函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且

,那么函数f(x)是偶函数关于

对称奇函数设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且

,那么函数f(x)是奇函数关于

对称f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点1.f(x)是定义在R上的函数,若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数.(

)2.函数f(x)=x2,x∈[0,+∞)是偶函数.(

)3.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(

)4.若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数就是偶函数.(

)思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××××2题型探究PARTTWO例1

判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=2-|x|;一、函数奇偶性的判断解

函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数.解

函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解

函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,则f(x)=0,又f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x),所以f(x)既是偶函数又是奇函数.解

f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x>0时,-x<0,f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.跟踪训练1

判断下列函数的奇偶性.(2)f(x)=x2(x2+2).解

f(x)=x2(x2+2)的定义域为R.∵f(-x)=f(x),∴f(x)=x2(x2+2)是偶函数.二、奇、偶函数的图象及应用例2

已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.(1)请补全函数y=f(x)的图象;解

由题意作出函数图象如图.解

据图可知,单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解

据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<2,且x≠0}.(4).若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,如何解答本题?解

(1)由题意作出函数图象如图所示.(2)据图可知,单调增区间为(-1,1).(3)据图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}.跟踪训练2

定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图象如图所示.(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象;解

由于f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称,其图象如图所示.解

观察图象,知f(3)<f(1).(2)比较f(1)与f(3)的大小.3随堂演练PARTTHREE1.函数y=f(x),x∈[-1,a](a>-1)是奇函数,则a等于A.-1 B.0

C.1

D.无法确定1234√解析

∵奇函数的定义域关于原点对称,∴a-1=0,即a=1.2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是1234√解析

选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.3.(多选)下列函数是奇函数的是A.y=x(x∈[0,1])

B.y=3x2C.y=

D.y=x|x|1234解析

利用奇函数的定义,首先定义域关于原点对称,排除选项A;又奇函数需满足f(-x)=-f(x),排除选项B.√√12344.若f(x)为R上的偶函数,且f(2)=3,则f(-2)=____.解析

∵f(x)为R上的偶函数,∴f(-2)=f(2)=3.3课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单:(3)函数奇偶性概念的应用---定

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