高中数学-《九章算术》中的立体几何教学设计学情分析教材分析课后反思

本节课我的前期准备较为充分，阅读了《九章算术》第五章《商功》，并且阅读了相关资料。对鳖臑的教学设计变了好几个版本，最终因为时间关系，没有加入线面角的内容，有些遗憾。利用模具进行数学实验，让学生自己动手制作鳖臑，这里可以删除，而是放在高一高二的教学中去。本节课我的语言表述还是不够精炼，还可以更加精简一些。作为一轮复习课，本节课落实的地方不够，很多地方只是思路的讲解，没有落实到步骤上。本节课的对象不够明确，可以作为高二的复习课，也可作为高三的一轮复习课，甚至是二轮复习课。《九章算术》中还有很多的内容，以后还可以进一步的研究。直线、平面的垂直关系的证明和空间角是课程标准明确要求的内容，并且与旧课程标准相比，并没有大的改变。可以说，直线、平面的垂直关系的证明和空间角仍然是立体几何的重点内容。新课程标准注重对核心素养的培养，并且数学教学中要注重体现数学文化的价值。高中数学课程应该努力揭示数学概念，法则，结论的发展过程和本质，通过典型的例子分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念，结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。在教学过程中，教师是学生学习的引导者、促进者和合作者。在本节课的教学过程中，注重由易到难，层层递进，有助于学生思维习惯的培养。本节课由于是高三复习课，因此涉及到教材中两部分内容：《必修二》第二章中关于直线、平面垂直的判定，以及《选修2-1》中的二面角、线面角等问题的进一步介绍。教材中多以生活中实例（旗杆问题）出发，逐步抽象到直线与平面的垂直问题。教材中，先后设计到直线与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理，平面与平面垂直的判定定理，直线与平面垂直的性质定理。教材中对这些定理的证明不作为重点，重点在于对这几个定理的理解以及应用，即利用这些定理去证明立体几何中的垂直问题。而在教材中的例题也多以三棱锥、四棱锥等经典图形为载体，与本节课的模型一致。而二面角和线面角问题中，利用几何方法（传统方法）求解一直是容易忽视的方法，而这种方法在高考题中也是不容忽视的内容，学好这种方法也是对立体几何能力的进一步提升。本节课是高三一轮复习课，前期学生已经复习了直线、平面垂直的判定和性质，以及二面角、线面角等内容。但是对高考题中本问题的考查还理解不够，对一些经典模型（三棱锥、四棱锥，阳马，鳖臑）也理解不够，并且对于本节所涉及的数学文化更是知之甚少。另外，中国古代数学著作《九章算术》中，与高中数学契合度最高的就是立体几何，因此本节课应运而生。学习目标学习目标通过阅读《九章算术（卷五）》原文，将其中的问题转化成高中所学的立体几何知识，并进行求解，从而进一步提高数学建模的数学核心素养；熟悉几何图形阳马和鳖臑，掌握其中的二面角、线面角的求解，并由此复习立体几何中线面垂直、面面垂直的证明和空间角的求解方法，从而进一步提高直观想象的数学核心素养；通过阅读中国古代经典文献，了解数学史和数学文化，体会中国古代在数学上的造诣，从而进一步提高数学学习的兴趣，激发爱国情怀.教学过程设计意图课前部分课堂探究课堂探究通读《九章算术（卷五）》，你有哪些感兴趣的地方？尝试利用所学知识加以解释.同学们说一说自己对九章算术第五章中，感兴趣的几何图形，以及不明白的地方。阅读《九章算术》第五章，了解其内容，引起学生兴趣，引入本节课的内容。针对学生的兴趣可以适当扩展。另外又与语文学科有所融合。最后引出一类与高考题息息相关的图形。典例解析例1《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接.（1）判断四面体是否为鳖臑；（2）过点作交于点，连接DF，找出图中所有鳖臑.学生自主完成，并上黑板进行展示和讲解。学生自主完成，并上黑板进行展示和讲解。分析试题，展示同学的解法，由学生找出解题过程中的正确方法和不足之处，并分析总结题目解法，找到转化条件的分析思路，进一步复习线面垂直等内容.并适当进行拓展，也为接下来的变式做铺垫。在过程中借助于具体的鳖臑实物帮助同学们进行多角度的观察。逐步变式，由九章算术中的内容变到高考题中，相当于是完成了一道高考题的溯源。通过逐步变式，分散了难点，有梯度，并且对高考题进行改变，增加了探究性。典例解析例2如右图，在三棱锥中，平面，.（1）图中有哪些面面垂直关系？师生共同分析解题思路，学生板书解题步骤，提倡有不同的思路。本问题本身不难，关键看学生能否完整的回答，并且在过程中监测学生思路的完整性和步骤的完整性，并随时总结，另外本问题也是为第二问做铺垫。典例解析你能找出图中哪些二面角的平面角？学生自主探究完成，学生板书，并提倡不同的思路。通过以上的铺垫，过渡到二面角，并且本问题专注于二面角的“找”和“证”，不涉及“算”，以直观想象的核心素养为主，并且带有一定的探究性。学生会有不同的解法，应该给与鼓励，并随时总结。课堂小结通过这节课的学习，你有什么收获？学生自主总结，整理.巩固提升（2018年全国一卷）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（=1\*ROMANI）证明：平面平面；（=2\*ROMANII）求与平面所成角的正弦值.进一步落实学生对知识的掌握情况，提高学生的综合解题能力.让学生们体会本节课所涉及的鳖臑与高考题中息息相关。附：九章算术（卷五）---商功预备知识：商功：测量体积。广：指矩形的长。袤：指矩形的宽。刍：指喂养牲畜的草。臑：指牲畜的前肢。方亭：指正四棱台。圆亭：指圆台。方堡壔：指正四棱柱。堑堵：底面为直角三角形的直三棱柱。方锥：指正四棱锥。阳马：底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥。鳖臑：四个面都是直角三角形的四面体。刍童：上下底面都为长方形的草垛。〔一〕今有穿地积一万尺。问为坚、壤各几何？答曰：为坚七千五百尺。为壤一万二千五百尺。

术曰：穿地四，为壤五，为坚三，为墟四。以穿地求壤，五之；求坚，三之，皆四而一。以壤求穿，四之；求坚，三之，皆五而一。以坚求穿，四之；求壤，五之，皆三而一。城、垣、隄、沟、渠，皆同术。

〔二〕今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？答曰：一百八十九万七千五百尺。〔三〕今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸。问积几何？答曰：六千七百七十四尺。〔四〕今有隄下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问积几何？答曰：七千一百一十二尺。

冬程人功四百四十四尺。问用徒几何？答曰：一十六人、一百一十一分人之二。

术曰：以积尺为实，程功尺数为法，实如法而一，即用徒人数。〔五〕今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈。问积几何？答曰：四千三百七十五尺。春程人功七百六十六尺，并出土功五分之一，定功六百一十二尺、五分尺之四。〔六〕今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸。问积几何？答曰：一万九百四十三尺八寸。

〔七〕今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺。问积几何？答曰：一千七万四千五百八十五尺六寸。〔八〕今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺。问积几何？答曰：三千八百四十尺。

术曰：方自乘，以高乘之，即积尺。〔九〕今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？答曰：二千一百一十二尺。

术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一。〔一０〕今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈。问积几何？答曰：一十万一千六百六十六尺、太半尺。

术曰：上下方相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三而一。〔一一〕今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈。问积几何？答曰：五百二十七尺、九分尺之七。

术曰：上、下周相乘，又各自乘，并之，以高乘之，三十六而一。〔一二〕今有方锥下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何？答曰：七千四十七尺。术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。〔一三〕今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺。问积几何？答曰：一千七百三十五尺、一十二分尺之五。

术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。〔一四〕今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺。问积几何？答曰：四万六千五百尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，二而一。〔一五〕今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺。问积几何？答曰：九十三尺、少半尺。

术曰：广袤相乘，以高乘之，三而一。〔一六〕今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺。问积几何？答曰：二十三尺、少半尺。术曰：广袤相乘，以高乘之，六而一。〔一七〕今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。问积几何？答曰：八十四尺。

术曰：并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一。〔一八〕今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？答曰：五千尺。

术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一。刍童、曲池、盘池、冥谷，皆同术。

术曰：倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高若深乘之，皆六而一。其曲池者，并上中、外周而半之，以为上袤；亦并下中、外周而半之，以为下袤。〔一九〕今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈。问积几何？答曰：二万六千五百尺。〔二０〕今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？答曰：一千八百八十三尺三寸、少半寸。〔二一〕今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈。问积几何？答曰：七万六百六十六尺、太半尺。负土往来七十步，其二十步上下棚除。棚除二当平道五，踟蹰之间十加一，载输之间三十步，定一返一百四十步。土笼积一尺六寸，秋程人功行五十九里半。问人到、积尺、用徒各几何？答曰：人到二百四尺。用徒三百四十六人、一百五十三分人之六十二。

术曰：以一笼积尺乘程行步数为实。往来上下，棚除二当平道五。置定往来步数，十加一，及载输之间三十步以为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。〔二二〕今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺。问积几何？答曰：五万二千尺。载土往来二百步，载输之间一里，程行五十八里，六人共车，车载三十四尺七寸。问人到积尺及用徒各几何？答曰：人到二百一尺、五十分尺之十三。用徒二百五十八人、一万六十三分人之三千七百四十六。

术曰：以一车积尺乘程行步数为实。置今往来步数，加载输之间一里，以车六人乘之，为法。除之，所得即一人所到尺。以所到约积尺，即用徒人数。〔二三〕今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈。问积及为粟几何？答曰：积八千尺。为粟二千九百六十二斛、二十七分斛之二十六。〔二四〕今有委菽依垣，下周三丈，高七尺。问积及为菽各几何？答曰：积三百五十尺。为菽一百四十四斛、二百四十三分斛之八。〔二五〕今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问积及为米几何？答曰：积三十五尺、九分尺之五。为米二十一斛，七百二十九分斛之六百九十一。

委粟术曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。其依垣者，十八而一。其依垣内角者，九而一。程粟一斛，积二尺七寸。其米一斛，积一尺六寸、五分寸之一。其菽、答、麻、麦一斛，皆二尺四寸、十分寸之三。〔二六〕今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺。问穿地下广几何？答曰：三尺、五分尺之三。

术曰：置垣积尺，四之为实。以深、袤相乘，又三之，为法。所得倍之，减上广，馀即下广。〔二七〕今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛。问高几何？答曰：二丈。

术曰：置粟一万斛积尺为实。广袤相乘为法。实如法而一，得高尺。〔二八〕今有圆困，高一丈三尺三寸、少半寸，容米二千斛。问周几何？答曰：五丈四尺。

术曰：置米积尺，以十二乘之，令高而一，所得，开方除之，即周。1.（2018年全国一卷）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.（=1\*ROMANI）证明：平面平面；（=2\*ROMANII）求与平面所成角的正弦值.2.（2015年新课标1文）如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，（=1\*ROMANI）证明：平面平面；（=2\*ROMANII）若，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.3.（2015年）如图，在三棱台DEF-ABC中，AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.（=1\*ROMANI）求证：//平面；（=2\*ROMANII）若平面，，，，求平面与平面所成的角（锐角）的大小.本节课通过学案导学、课堂实验、课堂讨论等内容，帮助同学们梳理了直线、平面垂直的判定以及二面角等内容，熟悉了阳马和鳖臑这两个经典图形，掌握其中的二面角、线面角的求解，并由此复习了立体几何中线面垂直、面面垂直的证明和空间角的求解方法，从而进一步提高了直观想象的数学核心素养并且对《九章算术》第五章《商功》做了学习，将其中的问题转化成高中所学的立体几何知识