新教材人教b版数学必修诱导公式(二)

7.2.4

诱导公式(二)1.诱导公式⑤【思考】(1)角-α与角α的终边有什么样的位置关系?提示:角-α与角α的终边关于y=x对称.

(2)点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是什么?提示:点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是P2(b,a).2.诱导公式⑥【思考】如何由公式②、公式⑤推导公式⑥?提示:

3.诱导公式⑦【思考】如何推导公式⑦?提示:4.诱导公式⑧【思考】如何理解诱导公式⑤⑥⑦⑧?提示:(1)函数名称:±α的正弦(余弦)函数值,分别转化为α的余弦(正弦)函数值.(2)符号:函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.(3)作用:利用诱导公式⑤⑥⑦⑧,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.(4)简记:“函数名改变,符号看象限”.【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)sin(90°+α)=-cosα. (

)(2)在△ABC中, (

)(3)sin=±cosα. (

)提示:(1)×.由诱导公式⑥知sin(90°+α)=cosα.(2)√.因为

由诱导公式⑤可知

(3)×.例如当k=2时,sin=sin(π-α)=sinα≠±cosα.2.sin95°+cos175°的值为(

)A.sin5°B.1C.0 D.2sin5°【解析】选C.sin95°=sin(90°+5°)=cos5°,cos175°=cos(180°-5°)=-cos5°,故sin95°+cos175°=cos5°-cos5°=0.3.若=(

)【解析】选D.因为

所以sinα=所以

4.若cos(π+α)=,则sin=________.

【解析】方法一:cos(π+α)=-cosα=,所以cosα=-,方法二:cos(π+α)=所以

所以

答案:-

类型一利用诱导公式求值【典例】1.已知cos31°=m,则sin239°tan149°的值是 (

)2.已知cos(π+α)=-,α为第一象限角,则cos的值为________.

3.已知,则cos的值为________.

【思维·引】1.239°=270°-31°,149°=180°-31°.2.利用诱导公式化简计算.3.【解析】1.选B.sin239°tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°2.因为cos(π+α)=-cosα=-,所以cosα=,又α为第一象限角,则

答案:-3.答案:

【内化·悟】对于含有参变量的已知角和未知角怎样转化?提示:通常把含有参变量的两个式子进行加减运算,从而发现互补、互余关系.【类题·通】解决化简求值问题的策略(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系,发现它们的互补、互余关系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.提醒:常见的互余关系有:-α与+α,+α与

-α等;常见的互补关系有:+θ与-θ,+θ与-θ等.【习练·破】1.已知sin40°=a,则cos130°等于 (

)【解析】选B.cos130°=cos(90°+40°)=-sin40°=-a.2.已知sin(75°+α)=,则cos(15°-α)的值为 (

)【解析】选C.因为(75°+α)+(15°-α)=90°,所以cos(15°-α)=cos[90°-(75°+α)]=sin(75°+α)=.类型二利用诱导公式化简、证明【典例】求证=-tanα. 世纪金榜导学号【思维·引】等式左边含有k·±α,k∈Z的形式的角,可以利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.【证明】因为左边=所以原等式成立.【内化·悟】利用诱导公式化简的基本原则是什么?提示:(1)负化正、大化小、小化锐、锐求值.(2)对于k·±α,k∈Z的形式的角,记准:奇变偶不变,符号看象限.【类题·通】对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边推导左边,也可以左右归一,变更论证的方法.常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简捷的方法.【习练·破】证明:【证明】左边=所以原式成立.【加练·固】化简:【解析】原式=类型三诱导公式的综合应用【典例】已知f(α)=世纪金榜导学号(1)化简f(α).(2)若f(α)=,求sinα+cosα的值.【思维·引】利用诱导公式对函数式进行化简,再利用平方关系等三角函数知识解题.【解析】(1)f(α)=(2)若f(α)=,则sinα=,cos2α=1-sin2α=.当α为第一象限角时,cosα=,sinα+cosα=

当α为第二象限角时,cosα=-,sinα+cosα=【内化·悟】对于复杂的、综合性很强的三角函数化简计算、求值问题怎样解决?提示:运用诱导公式化简:求值的前提是熟记诱导公式,诱导公式可以概括为一句口诀:“奇变偶不变,符号看象限”;即把已知角统一写成“k·±α,k∈Z”的形式,根据k的奇偶性选择函数名进行化简,再综合利用三角函数的定义,特殊角的三角函数等知识解决问题.【类题·通】诱导公式综合应用要“三看”一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.【习练·破】已知(1)化简f(α).(2)若角A是△ABC的内角,且f(A)=,求tanA-sinA的值.【解析】(1)f(α)=(2)因为f(A)=cosA=,又A为△ABC的内角,所以由平方关系,得sinA=所以tanA=所以tanA-sinA=【加练·固】已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求

的值.(2)求tan(