新教材人教b版数学必修倍角公式

8.2.3倍角公式1.倍角公式(1)sin2α=2sinαcosα(S2α).

(2)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α(C2α).(3)tan2α=__________(T2α).【思考】(1)所谓的“倍角”公式,就是角α与2α之间的转化关系,对吗?提示:不对.对于“倍角”应该广义地理解,如:8α是4α的二倍角,3α是α的倍角,α是的倍角,的倍角,…,这里蕴含着换元思想.这就是说“倍”是相对而言的,是描述两个数量之间关系的.(2)公式中的角α是任意角吗?提示:对于公式S2α,C2α中的角α是任意角,但是T2α中的角α要保证tanα有意义且分母1-tan2α≠0.2.倍角公式的变换(1)因式分解变换cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).(2)配方变换1±sin2α=sin2α+cos2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2.(3)升幂缩角变换1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(4)降幂扩角变换cos2α=(1+cos2α),sin2α=(1-cos2α),sinαcosα=sin2α.【素养小测】

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)倍角的正切公式的适用范围不是任意角. (

)(2)对于任意的角α,都有sin2α=2sinα成立. (

)(3)存在角α,使cos2α=2cosα成立. (

)(4)cos3αsin3α=sin6α对任意的角α都成立. (

)提示:(1)√.倍角的正切公式,要求α≠+kπ(k∈Z)且α≠±+kπ(k∈Z),故此说法正确.(2)×.当α=时,sin2α=sin,而2sinα=2×=1.(3)√.由cos2α=2cosα=2cos2α-1,得cosα=时,cos2α=2cosα成立.(4)√.由倍角的正弦公式可得.2.已知sinx=,则cos2x的值为 (

)

【解析】选A.因为sinx=,所以cos2x=1-2sin2x=1-2×

3.若tan2α=2,则tan4α=________.

【解析】tan4α=答案:-

类型一倍角公式的求值问题【典例】1.sin10°sin30°sin50°sin70°=________.

2.计算:=________.

3.已知=________.

【思维·引】1.先用诱导公式转化成余弦值,再构造倍角的正弦公式求解.2.利用倍角的正切公式求解.3.利用诱导公式与倍角的正弦公式求解.【解析】1.原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=答案:

2.原式=答案:

3.因为0<α<,所以0<-α<,又,所以所以原式=2×

答案:

【素养·探】本例考查利用倍角公式求值问题,突出考查了数学抽象与数学运算的核心素养.本例1若变形为,试求其结果.【解析】原式=【类题·通】1.倍角公式正用、逆用解题的关注点(1)注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活正用或逆用倍角公式.(2)结合诱导公式恰当变化函数名称,灵活处理系数,构造倍角公式的形式.2.条件求值问题的解题实质条件求值问题的解题实质是对已知条件与要求问题进行化简变形,最终代入已知条件求值;其解题突破口为已知条件与要求问题中角的特点,解题关键在于“变角”,即把“所求角”变为“已知角”.【习练·破】1.cos4-sin4

的化简结果为 (

)

A.cos

B.cosα

C.cos2α

D.cos4α【解析】选B.cos4-sin4

2.已知= (

)【解析】选A.由题意有:3.计算:=________.

【解析】

答案:

【加练·固】1.化简=________.

【解析】原式==2|cos4|-2|sin4+cos4|,因为π<4<,所以cos4<0,sin4+cos4<0.所以原式=-2cos4+2(sin4+cos4)=2sin4.答案:2sin42.计算:tan150°+=________.

【解析】原式=答案:-3.已知

则sin4α的值为________.

【解析】因为

即cos2α=.因为α∈,所以2α∈(π,2π).所以sin2α=所以sin4α=2sin2αcos2α=2×

答案:-类型二倍角公式的化简、证明问题角度1化简问题【典例】化简:【思维·引】先切化弦,再利用倍角正弦、余弦公式化简.【解析】原式=角度2恒等式证明问题【典例】求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos2Acos2B. 世纪金榜导学号【思维·引】可考虑从左向右证的思路:先把左边降幂扩角,再用余弦的和、差角公式转化为右边形式.【证明】左边=

所以等式成立.【素养·探】本例考查三角恒等式的化简与证明,突出考查了逻辑推理的核心素养.若本例改为:求证:【证明】左边=故原式得证.【类题·通】1.三角函数式的化简原则三角函数式的化简原则:一是统一角,二是统一函数名.能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分.2.证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式,处理原则是从复杂到简单,高次降低,复角化单角,如果两端都比较复杂,就将两端都化简,即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤①先观察,找出角、函数名称、式子结构等方面的差异;②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则,设法消除差异,达到证明的目的.【习练·破】求证:cos2θ(1-tan2θ)=cos2θ.【证明】方法一:左边=cos2θ

=cos2θ-sin2θ=cos2θ=右边.故原式得证.方法二:右边=cos2θ=cos2θ-sin2θ=cos2θ=cos2θ(1-tan2θ)=左边.故原式得证.【加练·固】化简:,其中θ∈(0,π).【解析】原式=①当θ∈此时原式=sin+cos-cos+sin=2sin.②当θ∈此时原式=sin+cos-sin+cos=2cos.类型三倍角公式与三角函数性质综合问题【典例】已知函数f(x)=sin2x-sin2,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期. 世纪金榜导学号(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.【思维·引】先利用倍角公式把解析式化简为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再解答.【解析】(1)由已知,有所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,

所以f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.【内化·悟】研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx的性质时应首先把函数f(x)化简成什么形式再解答?提示:研究形如f(x)=asin2ωx+bsinωxcosωx的性质时,先化成f(x)=sin(ωx+φ)+c的形式再解答.【类题·通】倍角公式与三角函数性质的综合问题的解题策略运用三角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成y=asinωx+bcosωx+k的形式,借助辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k(或y=Acos(ωx+φ)+k)的形式,将ωx+φ看作一个整体研究函数的性质.

【习练·破】1.(2018·全国卷Ⅲ)函数的最小正周期为 (

)

A. B. C.π D.2π【解析】选C.f(x)==sinxcosx=sin2x,所以f(x)的最小正周期为T==π.2.已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)若f(x)在区间上的最大值为,求m的最小值.【解析】(1)f(x)=sin2x+sinxcosx

所以f(x)的最小正周期T==π.(2)由(1)知,f(x)=由题意知≤x≤m,所以≤2x-≤2m-.要使得f(x)在区间上的最大值为,即sin在区间上的最大值为1,所以2m-≥,即m≥.所以m的最小值为.【加练·固】已知函数f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.(2)若f(x0)=,求cos2x0的值.【解析】(1)由f(x)=2sinxcosx-2cos2x+1,得f(x)=(2sinxcosx)-(2cos2x-1)=sin2x-cos2x=2sin,所以函数f(x)的最小正周期为π.易知f(x)=2sin上为增函数,在区间上为减函数,又f(0)=-1,=-1,所以函数f(x)在上的最大值为2,最小值为-1.(2)因为2sin,所以sin又x0∈所以cos所以cos2x0=cos类型四倍角公式的实际应用实际问题情境某同学在一商店入口处测得科技大厦顶端的仰角为θ,他从此商店沿公路向前方走了30米,到达医院大门口,测得科技大厦顶端的仰角为2θ,再沿刚才的方向前进10米到达路口拐角,此时测得科技大厦顶端的仰角为4θ,求科技大厦的高度.转化模板1.—由题意可以画出该问题的示意图,转化为解三角形问题,利用三角函数模型求解.2.—如图,设商店入口为点B,医院大门口为点C,公路口拐角处为点D,科技大厦为EA,A点为顶端.3.—如图,∠ABE=θ,∠ACE=2θ,∠ADE=4θ,BC=30,CD=10.求AE.4.—因为