线性代数与空间解析几何课件

《线性代数与空间解析几何》第二十讲哈工大数学系代数与几何教研室王宝玲5.1

齐次线性方程组第五章线性方程组1齐次方程组非齐次方程组线性方程组在几何中的应用本章主要内容2阵5.1.1齐次线性方程组的表示形式3即4只有零解的充要条件；无穷多解的充要条件；

解的性质及解集合的结构；求解方法.齐次方程组的内容5证

AX=0

有非零解x11+x22+…+xnn=0有非零解

A的列向量组1,2,…,n线性相关r(A)=r(1,2,…,n)<n.设阶矩阵,则齐次性方程组

AX=0

有非零解r(A)<n;

AX=0

只有零解

r(A)=n.定理5.15.1.2齐次线性方程组有解的条件AX=0只有零解x11+x22+…+xnn=0只有零解

A的列向量组1,2,…,n线性无关r(A)=r(1,2,…,n)=n.6若有非零解,这些解具有哪些性质?解集合的整体结构如何?问题也是AX=0

的解.由是AX=0的解,即性质1也是AX=0

的解.性质2由是AX=0的解,即k,5.1.3

齐次方程组解的性质及结构7AX=0

的解集合构成向量空间,记为N(A),

称其为AX=0的解空间.定理5.2若AX=0

有非零解,

则这些解的任意线性组合仍是解,所以必有无穷多个解.由性质1,2可知解集合对线性运算是封闭的.所以得到如下结果:只要找到N(A)的一个基(基础解系),就能表示所有解.其中P为可逆矩阵.注AX=

0与

PAX=

0

是同解方程组.8则称为AX=0的基础解系.定义r(A)=r<n,若AX=0的一组解为

(1)

线性无关;(2)AX=0

的任一解都可由这组解线性表示.称的通解为AX=0（其中k1,k2,…,kn-r为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解而求通解的关键问题是求基础解系.,且满足：9定理5.3设

任一基础解系中均含有n–r解向量,为N(A)的一个基,即(1)若则AX=0没有基础解系;(2)若则AX=0有基础解系,且dim(N(A))=证N(A)={0}(2)(1)则AX=0没有基础解系.(求基础解系的方法)101.不妨设

A

的前r

个列向量线性无关C为行阶梯形矩阵(行最简).

11得同解方程组CX=0,即2.

前r个变量为基本未知量,其余的n-r个

变量为自由未知量.(为个)令123.代入同解的方程组CX=0中得从而得到AX=0的n-r个解为13且线性无关.设是AX=0的任一解,14下证线性相关.令,则所以线性相关,于是可由线性表示.所以是N(A)的一个基,dim(N(A))=即15为方程组AX=0的基础解系.这样求出的其中为任意常数.AX=0的通解为故16(1)是解;(2)线性无关;(3)n-r(A)

个.2.求通解的三步:（行阶梯形或行最简形）;

写出同解方程组CX=0.(3)写出通解(2)求出CX=0的基础解系;(1)1.基础解系的三要素:总结其中为任意常数.17求下列方程组的基础解系及通解:解

例118得同解方程组令得基础解系19方程组的通解是:其中k1,k2是任意常数.20求下列方程组的基础解系:解用初等行变换化系数矩阵为阶梯形:例221得同解方程组为:22令代入上述方程组解得基础解系为:23

设A,B

都是n

阶矩阵B0且B

的每一列都是方程组

AX=0的解，则A=

.0例324例4已知是的基础解系,若,讨论t满足什么条件时,也是的基础解系.解是的解,且也是4个.只须证线性无关.25线性无关即所以当t1时,也是的基础解系.26例5已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零,且r(A)=n-1,求线性方程组AX=0的通解.解由r(A)=n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量.又即为所求通解.k为任意常数275.2

非齐次线性方程组285.2.1非齐次线性方程组的表示形式称为的导出组(2)阵增广矩阵：(A

b)2930

何时方程组有解?

有唯一解、无穷多解.解的性质及解集合的结构；求解方法.非齐次线性方程组的内容31AX=b

有解

x11+x22+…+xnn=b

有解

b可由A的列向量1,2,…,n线性表示

1,2,…,n与1,2,…,n,b等价r(1,2,…,n)=r(1,2,…,n,b)

定理5.45.2.2非齐次线性方程组有解的条件方程组AX=b有解r(A)=r(A

b)注当r(A)<r(A

b)方程组AX=b无解.r(A)=r(A

b)得出定理32若解不唯一,这些解具有哪些性质?

解集合的整体结构如何?问题性质1

若1,2是AX=b的解,A1=b,A2=bA(1-2)=A1-A2=b-b=0

1-2是AX=0的解.性质2若是AX=0的解,是AX=b的解

A(+)=A

+A=0+b=b

+

是AX=b的解.5.2.3非齐次方程组解的性质及结构注

非齐次方程组有解的条件下,有两种情况33(2)

AX=b

有无穷多解r(A)=r(A

b)<n,证

(1)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)(1)

AX=b有唯一解r(A)=r(A

b)=n.又因为(1)的解唯一,由性质2知(2)有唯一零解,所以r(A)=n,即r(A)=r(A

b)=n.定理5.5两个以上不同的解,则由性质1知(2)有非零因为

r(A)=r(A

b)

所以(1)有解,若有解,这与r(A)=n矛盾.故(1)只有唯一解.34(2)AX=b有解,所以r(A)=r(A

b)又因为(1)有无穷多解,由性质2知(2)有非零解,所以r(A)<n,即r(A)=r(A

b)<

n.因为r(A)=r(A

b)所以(1)有解,又因为r(A)<n,所以(2)有无穷多解,由性质2知(1)有无穷多解.

注当A为方阵时AX=b有唯一解351.

AX=b与

PAX=Pb

是同解方程组.其