人教版八年级上册1三角形全等的判定-HL

三角形全的判定——HL问题如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？分析：已知一组相等的直角，还需添加什么条件，才能判定全等呢？（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？测量任意一组对应角以及未被遮挡的任意一组对应边长度.ASA、AAS（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？测量未被遮挡的直角边以及斜边如果两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，这两个直角三角形全等吗？

操作

任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB，然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？ABC现象：两个三角形放在一起能完全重合．说明：这两个三角形全等．条件：∠C=∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB“HL”判定方法:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．NMC′ABCA′

B′

用符号语言表达:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∴

Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）．AB=A′B′，

BC=B′C′，

∵

NMC′ABCA′

B′

例

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD．求证：BC=AD．ABCD证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC和Rt△BAD

中，AB=BA，AC=BD，∴

Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）.∴

BC=AD（全等三角形对应边相等）．变式.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．ABCD（1）AD=BC

理由：HL（2）AC=BD

理由：HL（3）∠DBA

=

∠CAB

理由：AAS（4）∠DAB

=

∠CBA

理由：AAS

例

如图，C

是路段AB的中点，两人从C同时出发，

以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．DA⊥AB，EB⊥AB．D，E与路段AB的距离相等吗？

为什么？ABCDE分析：CA=CBCD=CE∠A=∠B=90°？？解：D,E与线段AB的距离相等.理由：∵C是路段AB的中点，∴AC=BC.∵DA⊥AB，EB⊥AB，∴∠A=∠B=90°.CD=CE，AC=CB，在Rt△ADC

和Rt△BEC

中，∴

Rt△ADC

≌

Rt△BEC

(HL).∴

AD

=BE.∴

D,E与线段AB的距离相等.例

如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：（1）AE=DF

;

（2）CD//AB.ABCDEF分析：

CE-EF=BF-EF,即CF=BERt△ABE

≌

Rt△DCF（HL）

AE=DF∠B=∠C

CD//AB证明：∵CE=BF，∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°.AB=DC，CF=BE，在Rt△ABE

和Rt△DCF中，∴

Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．∴

AE=DF，∠B=∠C.∴

CD//AB.∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.例

如图，已知AB=AC，AE=AF，AE⊥EC，AF⊥BF，垂足分别是点E、F.求证：∠1=∠2.ABCEF12分析：Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∠EAC=∠BAF∠1=∠2证明：∵

AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠E=∠F=90°.在Rt△AEC

和Rt△AFB中，AC=AB，AE=AF，∴

Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）.∴

∠EAC=∠FAB（全等三角形对应角相等）.∴∠EAC-∠BAC=∠FAB-∠BAC.∴∠1=∠2.ABCEF12变式.在上题的基础上，设EC与AB交于点M，BF与AC交于点N，那么EM和FN相等吗？请说明理由.MN？？解：EM=FN.理由：在Rt△AEM

与Rt△AFN中，∴Rt△AEM≌Rt△AFN（ASA）.∴EM=FN(全等三角形的对应边相等).∠1

=∠2，AE=AF，∠E=∠F=90o

，

ABCEF12MN课堂小结

课堂小结判定两个直角三角形全等有哪些方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL由于已有直角条件，我们多使用后4个有角的条件的判定方法.

课堂小结

“HL”判定方法应满足什么条件？

与之前所学的四种判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．

此判定方法只适用于直角三角形，而之前所学的判定适用于任意三角形.

课堂小结

“HL”判定方法应满足什么条件？

与之前所学的四种判定方法有什么不同？“HL”判定方法：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．

此判定方法在直角三角形的前提下，只需满足两条边（斜边与一直角边）相等即可；之前的判定方法都需满足三个条件.课后作业

1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高.求证：（