湘教版八年级下册《勾股定理》（15张） 优质课比赛一等奖

1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）1勾股定理123

相传两千多年前，一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系，同学们，我们也来观察下面的图案，看看你能发现什么？看一看做一做

如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在个点上的直角三角形，使其两直角边分别为3,4，量出这个直角三角形的斜边的长度.

我量得c为5.

议一议

在方格纸上，以图中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么这三个正方形的面积S1，S2，S3之间有什么关系呢？S3S2S1

由图可知，S1=32，S2=42,为了求S3，我可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小正方形的面积，得S3=52.∵32+42=52.∴S1+S2=S3.

在上图中，S1+S2=S3，BC2+AC2=AB2，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？

如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立？探究

我们来进行探究：步骤1

先剪出4个如图1所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中b＞a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.

步骤2

再剪出1个边长为c的正方形，如图2所示.

步骤3

把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图3的图形.

由于△DHK≌△EIH,∴∠2=∠4.

又∵∠1+∠2=90°.∴∠1+∠4=90°.

又∠KHI=90°，∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D,H,E在一条直线上.图3

同理E，I，F在一条直线上；F,J,G在一条直线上，G，K，D在一条直线上.

因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为（a+b），它的面积为（a+b）².

又正方形的DEFG的面积为c2+4·ab，

∴（a+b）²=c2+4·ab.

即a2+2ab+b2=c2+2ab，∴a2+b2=c2.图3用赵爽弦图证明证法二：abc∴a2+b2=c2aabbcc证法三、美国第20任总统伽菲尔德证法：

∵

s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)

s梯形=2×ab+c2=ab+c2∴a2+ab+b2=ab+c2

∴a2+b2=c2=a2+ab+b2证法四：毕达哥拉斯证法:abcaabbcＳ大正方形=4×ab+a2+b2

=2ab+a2+b2Ｓ大正方形=4×ab+c2=2ab+c2∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形∴2ab+a2+b2=2ab+c2∴a2+b2=c2由上述可得到直角三角形的性质定理：结论

直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图），因此这一性质被称为勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，在直角三角形中，若已知直角三角形的任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.

如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，

BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？

解在△ABC中，∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC,∴BD=BC=5.

在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，故AD的长为12cm.例题1.在△ABC中,∠C=90°，a=6,b=8,

则c=＿＿＿＿2.在一个直角三角形中,两边长分别为6、8,则第三边的长为________.1010或练习3、求出下列直角三角形中未知的边．610ACB8A15CB30°2245°①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？②直角三角形