高考数学二轮复习培优专题第18讲 直线与圆常考6种题型总结（解析板）

第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则圆的标准方程为：SKIPIF1<0考点三：圆的一般方程圆的一般方程为SKIPIF1<0，圆心坐标：SKIPIF1<0，半径：SKIPIF1<0注意：=1\*GB3①对于SKIPIF1<0的取值要求：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，方程只有实数解SKIPIF1<0．它表示一个点SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．=2\*GB3②二元二次方程SKIPIF1<0，表示圆的充要条件是SKIPIF1<0考点四：以SKIPIF1<0为直径端点的圆的方程为SKIPIF1<0考点五：阿波罗尼斯圆设SKIPIF1<0为平面上相异两定点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面上异于SKIPIF1<0一动点且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）则SKIPIF1<0点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离SKIPIF1<0，圆的半径为SKIPIF1<0，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交SKIPIF1<0SKIPIF1<0两个②直线与圆相切SKIPIF1<0SKIPIF1<0一个③直线与圆相离SKIPIF1<0SKIPIF1<00个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离SKIPIF1<0，圆的半径为SKIPIF1<0，则弦长SKIPIF1<0法二：联立直线方程与圆方程，得到关于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】SKIPIF1<0顶点坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0外接圆的标准方程为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】设圆的标准方程为SKIPIF1<0，因为过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0则圆的标准方程为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【例2】已知圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．8【答案】B【分析】求出圆心坐标，进而求出a，b的关系，再利用基本不等式中“1”的妙用求解作答.【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，依题意，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时“=”，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B【例3】过点SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆的方程为_______．【答案】SKIPIF1<0【分析】设圆的标准方程为SKIPIF1<0，根据题意列出方程组，求得SKIPIF1<0的值，即可求解.【详解】设圆的标准方程为SKIPIF1<0，因为圆过点SKIPIF1<0，且圆心在直线SKIPIF1<0上，则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以所求圆的方程为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.【例4】设甲：实数SKIPIF1<0；乙：方程SKIPIF1<0是圆，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由方程表示圆可构造不等式求得SKIPIF1<0的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程SKIPIF1<0表示圆，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0甲是乙的必要不充分条件.故选：B.【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度SKIPIF1<0米，拱高SKIPIF1<0米，在建造圆拱桥时每隔SKIPIF1<0米需用一根支柱支撑，则与SKIPIF1<0相距SKIPIF1<0米的支柱SKIPIF1<0的高度是（

）米.（注意：SKIPIF1<0≈SKIPIF1<0）A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48【答案】A【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).可设圆拱所在圆的方程为SKIPIF1<0,由题意可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0.所以所求圆的方程为SKIPIF1<0.将x=-30代入圆方程,得:SKIPIF1<0,因为y>0,所以SKIPIF1<0.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【解析】设经过点A，B的直线为x轴，SKIPIF1<0的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，两边平方并整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．要使SKIPIF1<0的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为SKIPIF1<0．故选：C.【题型专练】1．设点M在直线SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的方程为______________．【答案】SKIPIF1<0【分析】设出点M的坐标，利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M在直线SKIPIF1<0上，∴设点M为SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0上，∴点M到两点的距离相等且为半径R，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02.经过三个点SKIPIF1<0的圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出SKIPIF1<0是直角三角形，其中SKIPIF1<0是斜边，则有过三点的圆的半径为SKIPIF1<0的一半，圆心坐标为SKIPIF1<0的中点，进而根据圆的标准方程求解.【详解】由已知得，SKIPIF1<0分别在原点、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0经过三点圆的半径为SKIPIF1<0，圆心坐标为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆的标准方程为SKIPIF1<0.故选：C.3.过四点SKIPIF1<0中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为SKIPIF1<0若圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故圆的方程为SKIPIF1<0；若圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故圆的方程为SKIPIF1<0；若圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故圆的方程为SKIPIF1<0；若圆过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故圆的方程为SKIPIF1<0.4.已知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”表示圆的必要不充分条件，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出SKIPIF1<0表示圆的充要条件，然后可判断出答案.【详解】若表示圆，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”表示圆的必要不充分条件，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B5.若两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点M满足SKIPIF1<0，则动点M的轨迹围成区域的面积为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据给定条件求出动点M的轨迹方程，再确定轨迹即可计算作答.【详解】设SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，化简整理得：SKIPIF1<0，因此，动点M的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，所以动点M的轨迹围成区域的面积为SKIPIF1<0.故选：D6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足SKIPIF1<0，设P（x，y），则SKIPIF1<0，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得SKIPIF1<0，设D（m，0），E（n，0），则SKIPIF1<0，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使SKIPIF1<0，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，SKIPIF1<0，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；若在C上存在点M，使得SKIPIF1<0，可设M（x，y），则有SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，化简得x2＋y2＋SKIPIF1<0x＋SKIPIF1<0＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足SKIPIF1<0，则在O，A，M三点所能构成的三角形中面积的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0点轨迹方程得其轨迹，由面积公式转化为SKIPIF1<0，由三角形面积公式易得最大值．【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值3．故选：C．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．相交 B．相离C．相切 D．无法确定【答案】A【分析】直线l过定点，求出定点的坐标，根据定点与圆的位置关系来确定l与圆的位置关系.【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以直线l过定点SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为原点，半径为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：点A在圆内，所以直线l与圆相交；故选：A.【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有公共点，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为SKIPIF1<0，则直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以圆心到直线得距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0【例3】直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0只有一个公共点，则实数SKIPIF1<0范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】确定直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，确定曲线SKIPIF1<0表示圆心为SKIPIF1<0，半径为1，且位于直线SKIPIF1<0右侧的半圆，包括点SKIPIF1<0，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0表示圆心为SKIPIF1<0，半径为1，且位于直线SKIPIF1<0右侧的半圆，包括点SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有2个交点，此时SKIPIF1<0，不满足题意，直线记为SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有1个交点，此时SKIPIF1<0，满足题意，直线记为SKIPIF1<0，如图，当直线SKIPIF1<0与半圆相切时，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直线记为SKIPIF1<0，由图知，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有1个交点，故选：C【例4】已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切B．若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交C．若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相离D．若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【详解】解：圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，故A正确；若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相离，故B错误；若点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，故C错误；若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，故D正确．故选：AD．【题型专练】1.直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共点个数为（）A．SKIPIF1<0个 B．SKIPIF1<0个 C．SKIPIF1<0个 D．SKIPIF1<0个或SKIPIF1<0个【答案】D【解析】将直线SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线过定点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两个不同的实数根，则实数SKIPIF1<0的范围______.【答案】SKIPIF1<0【分析】画出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的图像，数形结合得出实数SKIPIF1<0的范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，图像如图所示，当直线与半圆相切时，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（舍），或SKIPIF1<0当直线过点SKIPIF1<0时，可求得直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，则利用图像得：实数SKIPIF1<0的范围为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<03.（2022全国新高考2卷）设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆C：EQ(x＋3)\S(2)＋EQ(y＋2)\S(2)＝1有公共点，则a的取值范围为_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的点的坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0所在直线即为直线SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；圆SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，依题意圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C：SKIPIF1<0与直线l：x-y-1=0相交于A，B两点，若△ABC的面积为2，则圆C的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，由圆C方程可知圆心SKIPIF1<0，半径为a，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l的距离SKIPIF1<0，又△ABC的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，则a=2，即圆C的半径为2.则圆C的面积为SKIPIF1<0.故选：C.【例2】已知圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0被该圆M截得的弦长依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，则n的最大值是（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n的最大值【详解】解：由题意在圆SKIPIF1<0中SKIPIF1<0∴圆心SKIPIF1<0，半径为3，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0被该圆M截得的弦长依次为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0过圆心作弦的垂线，交圆于SKIPIF1<0两点，如下图所示：由几何知识得，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为最短弦长；SKIPIF1<0为最长弦长，为6.此时，直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为：SKIPIF1<0圆心到弦BC所在直线的距离：SKIPIF1<0连接SKIPIF1<0,由勾股定理得，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴最短弦长SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列∴设SKIPIF1<0∵最长弦长为6∴SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0故选：D.【例3】已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0的垂线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0两点，则当SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先求出直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，即可求出弦SKIPIF1<0的最小值，求出直线SKIPIF1<0的倾斜角的倾斜角，再利用锐角三角函数计算可得.【详解】解：SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以此时SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D【例4】（多选题）若直线l经过点SKIPIF1<0，且被圆SKIPIF1<0截得的弦长为4，则l的方程可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】由弦长公式得出圆心到直线距离，考虑直线斜率不存在和存在两种情况，根据距离公式得出所求方程.【详解】圆的标准方程为：SKIPIF1<0，由题意圆心到直线l的距离SKIPIF1<0①当直线的斜率不存在时，直线方程为SKIPIF1<0，圆心到直线的距离SKIPIF1<0，符合题意，②当直线的斜率存在时，设直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆心到直线的距离为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则直线方程为SKIPIF1<0，综上，直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故选：AC．【题型专练】1.直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则实数m的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令圆SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0到直线l的距离为d，而圆半径为SKIPIF1<0，弦AB长满足SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数m的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B2.在圆SKIPIF1<0内，过点SKIPIF1<0的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】圆SKIPIF1<0化简为SKIPIF1<0可得圆心为SKIPIF1<0易知过点SKIPIF1<0的最长弦为直径，即SKIPIF1<0而最短弦为过SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直的弦，圆心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0所以弦SKIPIF1<0所以四边形ABCD的面积：SKIPIF1<0故选：D.3.若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为原点)，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0​ B．SKIPIF1<0​ C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0​ D．SKIPIF1<0​【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】由SKIPIF1<0可知，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，根据点到直线的距离公式可得SKIPIF1<0故选：A4.直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于A，B两点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】D【解析】分别取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，将圆C化为标准方程：SKIPIF1<0，圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.如图，因为SKIPIF1<0，所以当圆心到直线距离最大时SKIPIF1<0最小.当CP不垂直直线SKIPIF1<0时，总有SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0最小，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切，则直线l的方程为______________．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线SKIPIF1<0的斜率不存在和存在两种情况求解即可.【详解】由SKIPIF1<0，得圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，此时直线恰好与圆相切，符合题意，当直线SKIPIF1<0的斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上，直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【例2】已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，且圆外有一点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，且切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0【分析】画出图象，利用等面积法求得SKIPIF1<0【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0.画出图象如下图所示，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【例3】点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大时，SKIPIF1<0___________.【答案】3【分析】根据题意SKIPIF1<0最大时，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切从而可得出答案.【详解】点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，即圆心SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0沿逆时针方向旋转，当刚好与圆SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0最小.当旋转到与圆相切于点SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大.所以SKIPIF1<0最大时，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0故答案为：3【例4】过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的切线，切点分别为SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．四边形SKIPIF1<0的外接圆方程为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0D．三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】求出SKIPIF1<0，由勾股定理求解SKIPIF1<0，即可判断选项SKIPIF1<0；利用SKIPIF1<0为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项SKIPIF1<0；利用SKIPIF1<0，求出直线SKIPIF1<0的斜率，即可判断选项SKIPIF1<0；求出直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项SKIPIF1<0.【详解】对于SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，由勾股定理可得，SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0错误；对于SKIPIF1<0，由题意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为所求圆的直径，所以线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，则所求圆的方程为SKIPIF1<0，化为一般方程为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0，由题意，其中一个切点的坐标为SKIPIF1<0，不妨设为点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确；对于SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两条直线的交点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选项SKIPIF1<0正确，故选：SKIPIF1<0.【题型专练】1.过点SKIPIF1<0作与圆SKIPIF1<0相切的直线l，则直线l的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程.【详解】解：圆SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则圆心为SKIPIF1<0，半径为1，易知点SKIPIF1<0在圆外，显然SKIPIF1<0是其中一条切线.当切线斜率存在时，设切线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0.综上，切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：BC.2.直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长，过点SKIPIF1<0作圆C的一条切线，切点为Q，则SKIPIF1<0（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0平分圆SKIPIF1<0的周长，所以直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圆的半径为3，所以SKIPIF1<0，故选：B.3.过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为_______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【分析】由题知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，所以过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；方法2：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型五：圆中最值问题【例1】已知SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图所示，以SKIPIF1<0为底边，则SKIPIF1<0面积最大等价于点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离最大，而点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离最大值等于SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离加半径看，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，又圆SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0故选：C【例2】已知点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的点，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的点，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设圆心SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0，作圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称圆SKIPIF1<0，计算出圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，结合对称性可得出SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即可得解.【详解】设圆心SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0，作圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称圆SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直时，且当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点以及点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0的交点(靠近直线SKIPIF1<0)时，SKIPIF1<0取得最小值，且SKIPIF1<0.故选：B.【例3】已知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】求出点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标，可得出SKIPIF1<0的值，求出直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所过定点的坐标，根据SKIPIF1<0可求得点SKIPIF1<0的轨迹方程，根据圆的几何性质可求得点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0距离的最大值，再利用三角形的面积公式可求得SKIPIF1<0面积的最大值.【详解】在直线SKIPIF1<0