广东省湛江市河唇中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析

广东省湛江市河唇中学2021-2022学年高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（

）A. B. C. D.2参考答案：A试题分析：由双曲线方程可知渐近线为，由渐近线夹角为，可知渐近线倾斜角为，所以考点：双曲线方程及性质2.已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6参考答案：C【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题．【解答】解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．【点评】本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．3.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x?N}，M⊕N＝(M－N)∪(N－M)，设A＝{y|y＝3x，x∈R}，B＝{y|y＝－(x－1)2＋2，x∈R}，则A⊕B等于()A．[0,2)

B．(0,2]C．(－∞，0]∪(2，＋∞)

D．(－∞，0)∪[2，＋∞)参考答案：C略4.若数列{an}满足﹣=1，且a1=5，则数列{an}的前100项中，能被5整除的项数为（）A．42 B．40 C．30 D．20参考答案：B【考点】数列递推式．【分析】由﹣=1，数列{}是以=1为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列通项公式=n，求得an=2n2+3n，由通项公式分别求得每10项，有4项能被5整除，即可得到数列{an}的前100项中，能被5整除的项数．【解答】解：由数列{an}满足﹣=1，即﹣=1，∴=1，∴数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴=n，∴an=2n2+3n，由题意可知：项12345678910个位数5474509290∴每10中有4项能被5整除，∴数列{an}的前100项中，能被5整除的项数40，故答案选：B．5.已知函数,若,则实数a的值为(

)A.1

B.2

C.0

D.－1

参考答案：B因为,所以,所以,故选B

6.下列命题中的真命题是(

)A.

B.＞

C.＜

D.＞参考答案：D7.椭圆与双曲线的离心率之积为1，则双曲线C2的两条渐近线的倾斜角分别为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论．【详解】椭圆中：a＝2，b＝1，所以，c＝，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题．8.若曲线在点处的切线方程是,则的值分别为(

)A．1,1

B．-1,1

C．1,-1

D．-1,-1参考答案：A略9.设集合，，则A. B.C. D.参考答案：C10.函数为偶函数，且上单调递减，则的一个单调递增区间为

A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________.参考答案：－112.设二次函数的值域为，则的最小值为

参考答案：略13.__________．参考答案：214.已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：

其中所有真命题的序号是________．参考答案：得，，。由得15.平面向量与的夹角为，，则_______.参考答案：16.已知不共线的平面向量，满足||=3，||=2，若向量=λ+μ（λ，μ∈R）．且λ+μ=1，=，则λ=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用λ+μ=1得出=λ+μ=λ+（1﹣λ），再由=，代入化简，得出关于λ的方程组，从而求出λ的值．【解答】解：向量，满足||=3，||=2，∵λ+μ=1，∴=λ+μ=λ+（1﹣λ），又=，∴=，即=，∴=，即?+2﹣2λ=3λ+?，∴，解得λ=．故答案为：．17.已知方程组，对此方程组的每一组正实数解，其中，都存在正实数，且满足，则的最大值是

.参考答案：试题分析:因为,所以,令,则,所以,即,所以,则,应填.考点：多元方程组的解法及基本不等式的综合运用．【易错点晴】本题以多元方程组的解满足的条件为背景,借助题设条件与基本不等式建立不等关系式,然后通过换元建立关于的不等式.最后通过解不等式,从而求得,所以,由于,因此,的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间，并判断是否有极值；（Ⅱ）若对任意的，恒有成立，求的取值范围；（Ⅲ）证明：（）．参考答案：（Ⅰ），（），，即，当，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在处取得极大值，极大值为，无极小值．……………４分（Ⅱ）方法1：因为，对任意的恒成立,由（1）知，则有，所以．……………9分方法2：记，，,，，由得即上为增函数；上为增函数；在上为减函数．因为对即要求恒成立,所以符合且得．

………………分（Ⅲ），由（Ⅰ）知，则（当且仅当取等号）．令（），即，则有则得证

………………14分19.已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的图像在x=1处的切线的方程；（2）若函数上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）的图像与x轴交于不同的点求证：（其中实数p，q满足）参考答案：解答（Ⅰ）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即．·······························································2分（Ⅱ）方程即为，令，则，因为，故时，．当时，；当时，．故函数在处取得极大值，····················································4分又，，，则，故函数在上的最小值是．························································································································6分方程在上有两个不相等的实数根，则有解得，故实数m的取值范围是．······································8分（Ⅲ）∵函数的图象与x轴交于两个不同的点，，的两个根为，，则两式相减得，，，则（∵）．（*）··············································10分∵，，则，又，∴，下证，即证明．令，∵，∴，即证明在上恒成立，················································12分∵，∵，∴，又，∴，∴在上是增函数，则，从而知，故（*）＜0，即成立．

14分20.（10分）（2015?陕西校级二模）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4，（1）求PF的长度．（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度．参考答案：【考点】：圆的切线的判定定理的证明．【专题】：计算题．【分析】：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，从而得到△PFD∽△PCO，最后再结合割线定理即可求得PF的长度；（2）根据圆F与圆O内切，求得圆F的半径为r，由PT为圆F的切线结合割线定理即可求得线段PT的长度．解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC，又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，从而∠PFD=∠OCP，故△PFD∽△PCO，∴由割线定理知PC?PD=PA?PB=12，故．（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF=2﹣r=1即r=1所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT则PT2=PB?PO=2×4=8，即【点评】：本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理等基础知识，考查运算求解能力转化思想．属于基础题．21.已知函数（）在处的切线与直线平行.（1）求的值并讨论函数在上的单调性；（2）若函数（为常数）有两个零点（）①求实数的取值范围；②求证：参考答案：（1），，∴.∴令，则∴时，；时，.则在上单调递增，在上单调递减.∴在时，，即时，，∴函数在上单调递减.（2）①由条件可知，，则∴在上单调递减，在上单调递增；要使