河南省鹤壁市三矿中学高三数学文期末试题含解析

河南省鹤壁市三矿中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量，向量，且，则实数等于（

）A、

B、

C、

D、参考答案：D2.设a，b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列命题：

①若

②若

③若

④若

其中正确命题的个数是

（

）

A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：3.若复数是纯虚数，则实数的值为A.或

B.

C.

D.或参考答案：C略8、执行如题（8）图所示的程序框图，如果输出，那么判断框内应填入的条件是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：：B5.复数

(i为虚数单位)的虚部是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略6.过点且与直线平行的直线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：D设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.7.设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（▲

）A．

B．2

C．

D．4参考答案：B略8.从1、2、3、4、5、6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.执行如图所示的程序框图，若输出结果是5，则输入的整数p的可能性有（）

A．6种 B．7种 C．8种 D．9种参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，可以得出9≤p＜16，即可得解输入的整数p的可能性．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0满足条件0≤p，执行循环体，S=1，n=2满足条件1≤p，执行循环体，S=4，n=3满足条件4≤p，执行循环体，S=9，n=4满足条件9≤p，执行循环体，S=16，n=5由题意，此时应该不满足条件16≤p，退出循环，输出n的值为5．可得：9≤p＜16．则输入的整数p的值可能为：9，10，11，12，13，14，15，等7个．故选：B．10. 复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点所在的象限为A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列的前项和为，，且满足，则_________．参考答案：64【知识点】数列递推式D1

解析：∵Sn=an+1+1，∴当n=1时，a1=a2+1，解得a2=2，当n≥2时，Sn﹣1=an+1，an=an+1﹣an，化为an+1=2an，∵，∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，首项为2，公比为2，∴=2n﹣1．∴an=．∴a7=26=64．故答案为：64．【思路点拨】利用递推式与等比数列的通项公式即可得出．12.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)

．参考答案：13.已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，

长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为

．

参考答案：略14.曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．参考答案：5x＋y-3=0.略15.直线与圆相交于点、，则||=

．参考答案：略16.如图，过抛物线的焦点F的直线依次交抛物线及其准线于点A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则抛物线的方程是

。参考答案：17.若实数x,y满足不等式组(其中k为常数)，且z=x+3y的最大值为12，则实 数k的值等于

▲

．参考答案：-9

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）a=时，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函数f（x）≤x﹣1对?x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间；（Ⅱ）先求导，根据导数和函数的最值的关系即可求出；（Ⅲ）构造函数，转化为设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根据导数和函数最值的关系分类讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；②当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（Ⅱ）当a=时，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…当x∈[1，]时，h′（x）＜0，当x∈[，e）时，h′（x）＞0，故x=是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…③当时，x=＞1，则f（x）在[1，]上单调递减，[，+∞）单调递增，则存在∈[，+∞），有g（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）【点评】本题考查了导数和函数的单调性，极值，最值的关系，以及函数恒成立的问题，培养学生的转化能力，运算能力，属于难题．19.函数.（1）若函数，求函数的极值；（2）若在恒成立，求实数m的取值范围.参考答案：解：（1），定义域，由得，由得在递增，在递减，，没有极小值.（2）由在恒成立，整理得在(0,3)恒成立，设，则，时，，且，时，，设.在递增，又使得，时，时，，时，时，.函数在递增，递减，(1,3)递增，又，，时，，，即m的取值范围是.

20..（Ⅰ）若求的单调区间及的最小值;（Ⅱ）若,求的单调区间;（Ⅲ）试比较与的大小.,并证明你的结论.参考答案：略21.

如图，在直三棱柱中，，，点D是AB的中点.（1）求证：；（2）求证：∥平面;（3）求异面直线与所成角的余弦值.参考答案：解法一：（Ⅰ）直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

，又是直三棱柱，所以，

………2分面，面

；…….4分（Ⅱ）设与和交点为E，连结DE，D是AB的中点，E是的中点，…….7分

平面，平面，平面；…9分（Ⅲ），为与所成的角…11分，在中，，，，异面直线与所成角的余弦值为………..14分解法二：直三棱柱，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，，且在平面ABC内的射影为BC，；….3分AC，BC，两两垂直。………………4分如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，…6分22.（12分）微信已成为人们常用的社交软件，“微信运动”是微信里由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号．手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞．现从小明的微信朋友圈内随机选取了40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如表：

步数性别0～20002001～50005001～80008001～10000＞10000男12476女03962（1）若某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？

积极型懈怠型总计男

女

总计

（2）如果从小明这40位好友内该天走路步数超过10000步的人中随机抽取3人，设抽取的女性有X人，求X的分布列及数学期望E（X）．P（K2≥k）0.100.050.0100.0050.001K2.7063.8416.6357.87910.828附：K2=

参考答案：【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意填写2×2列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值即可得出结论；（2）根据题意，抽取的女性人数X服从超几何分布，计算X的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据题意完成2×2列联表如下