江西省宜春市樟树临江实验学校2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析

江西省宜春市樟树临江实验学校2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题：，，那么是(

)A．，

B．，C．，

D．，参考答案：A2.用数学归纳法证明不等式＋＋···＋>(n>1，n∈N*)，在证明n＝k＋1这一步时，需要证明的不等式是（

）A．＋＋···＋>B．＋＋···＋＋>C．＋＋···＋＋>D．＋＋···＋＋＋>参考答案：D略3.5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为：

A、18

B、24

C、36

D、48参考答案：C4.下列说法中，正确的是(

)．

A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4

B．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关

C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数参考答案：C5.已知（）A．

B．

C．

D．参考答案：C

略6.直线在y轴上的截距是()A．|b|

B．－b2

C．b2

D．±b参考答案：B略7.已知随机变量的值等于（

）A．0.5

B．0.2

C．0.3

D．0.4参考答案：D略8.设全集，集合，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A9.当0<x<时，函数f（x）=的最小值为

（

）A．2

B．2

C．4

D．4参考答案：C10.下列命题：①，；②，；③；④“”的充要条件是“且”中，其中正确命题的个数是（

）．A． B． C． D．参考答案：D或，所以①错误，②正确；或，所以③正确；且，所以④正确；综上，正确命题的个数是．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知指数函数，对数函数和幂函数的图像都过，如果，那么

．参考答案：12.已知圆，直线l：，当圆上仅有2个点到直线l的距离为1，则b的取值范围为

．参考答案：由圆上仅有个点到直线的距离为可得圆心到直线的距离满足，由于，即，解得，

13.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有

盏灯．参考答案：195【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．故答案为：195．14.若函数exf（x）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数：①f（x）=（x>1）

②f（x）=x2

③f（x）=cosx

④f（x）=2-x中具有M性质的是__________.参考答案：①④15.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为

．参考答案：

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴∵R2=r2+h2，∴∴V=×π××=故答案为：16.设，，若是的充分条件，则的取值范围是

。参考答案：.因为是的充分条件，所以，则，解得.17.给出下列命题：

①向量的大小是实数

②平行响亮的方向一定相同

③向量可以用有向线段表示

④向量就是有向线段

正确的有_________________________参考答案：①③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的极小值为.（1）求f(x)的单调区间；（2）证明：（其中为自然对数的底数）.参考答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为（2）详见解析【分析】（1）先由函数的极小值为，求出，利用导数的应用，求函数单调区间即可；（2）不等式恒成立问题，通常采用最值法，方法一,令，可以证明，方法二,要证，即证，再构造函数证明即可得解.【详解】（1）由题得的定义域为，，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）方法一：要证，即证，令，则，当时，单调递增；当时，，单调递减.所以.由题知.因为，所以，即.方法二：由（1）知.解得，要证，即证.当时，易知.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即.令，则，所以在区间内单调递增，所以，即，所以，则当时，，所以.综上，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间及证明不等式，属综合性较强的题型.19.已知函数（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；参考答案：解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(－1,－4)…………….5分⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,∵l过切点P0,点P0的坐标为(－1,－4)∴直线l的方程为即………………10分略20.已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA与直线PB的倾斜角互补．O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．参考答案：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2.将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且·＝(x－1，y－1)(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，所以·的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝．同理，xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，所以，直线AB和OP一定平行．21.（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15,25[25，35[35，45[45，55[55，65[65,75频数510151055赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；

月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成

不赞成

合计

（Ⅱ)若对月收入在[15，25），[25，35）的被调查人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中不赞成“楼市限购令”人数至多1人的概率。参考数据：参考答案：22.设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）计算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，证明：Tn＜．参考答案：【考点】8E：数列的求和．【分析】（Ⅰ）由已知条件利用递推导思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用数学归纳法进行证明．（Ⅱ）证法一：由，利用裂项求和法和放缩法进行证明．证法二：利用用数学归纳法进行证明．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立．（ⅱ）假设当n=k时，ak=k….4分，则当n=k+1时，，结合an＞0，解