2021年湖北省荆州市松滋第二中学高二数学文期末试题含解析

2021年湖北省荆州市松滋第二中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（

）

A.（-，0）

B.（0，）

C.（，）

D.（，）参考答案：C3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(1,2] B.[4,+∞) C.(－∞,2] D.(0,3]参考答案：A【分析】在定义域内，由，得，利用，解不等式可得结果.【详解】∵，∴函数的定义域是（0，+∞），，∵，∴由，得．∵函数在区间上单调递减，∴，解得．即实数的取值范围是,故选A．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.5.设,则除以8的余数是（

）

A、0

B、2

C、

D、0或6参考答案：D6.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种 B．48种 C．64种 D．72种参考答案：D【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据分类计数原理，本题需要分两类，AC同色，和AC异色，问题得以解决，【解答】解：当AC同色时，有2=48种，当AC异色时，有=24种，根据分类计数原理得，不同的涂色方法共有48+24=72种．故选：D．7.已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（

）A．(－∞,－3)

B．(1,+∞)

C．(－1,3)

D．(－3,1)参考答案：D8.设在区间[0，5]上随机的取值，则方程有实根的概率为（

）A.

B.

C.

D.1参考答案：B9.过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（

）A.

B.

C. D.参考答案：B10.已知中，，，，那么角等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，已知a=17，则b·CosC＋c·CosB=_________________。参考答案：1712.某单位200名职工的年龄分布情况如下图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是

；若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取

人。参考答案：

13.已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3﹣3=﹣3，当且仅当x=时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．14.数据5，7，7，8，10，11的标准差是

参考答案：215.已知双曲线的离心率为，那么它的焦点坐标为__________，渐近线方程为__________．参考答案：和 ∵已知，，则，∴，焦点坐标为，，双曲线方程为，渐近线为．16.某篮球运动员在三分投球的命中率是，他投球5次，恰好投进2个的概率是参考答案：17.直线过点作圆的切线，则切线长为_______________参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（I）求展开式的第四项；（II）求展开式的常数项.参考答案：解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为、、，

所以+=，即.

解得.

………….4分（I）第四项；….7分（II）通项公式为=，

令，得.

………….10分

所以展开式中的常数项为.

…………….12分略19.如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，．（Ⅰ）线段AB上是否存在点M，使AB⊥平面PCM？并给出证明．（Ⅱ）求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）当m是AB的中点时，推导出AB⊥PM，AB⊥CM，从而得到AB⊥平面PCM．（Ⅱ）取AB中点O，以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）当m是AB的中点时，AB⊥平面PCM．证明如下：∵AP=PB，∴AB⊥PM…又△ACB中，AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴AB⊥CM，又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PCM．…解：（Ⅱ）取AB中点O，由AB=PC=2，，解得PO=1，，∴OP2+OC2=PC2，∴OP⊥OC…以O为坐标原点，以OC，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系O﹣xyz，则B（0，1，0），，P（0，0，1），，∴，，设平面DCP的一个法向量为，则，，∴，∴，y=0，∴…设平面BCP的一个法向量为，则，，∴，∴，，∴…∴，∵二面角B﹣PC﹣D为钝角，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为．…20.如表记录了甲、乙两名同学的10次数学成绩，满分为150分，且大于130分的成绩视为优秀．假设每次考试的难度相当，甲、乙两名学生的学习水平保持不变，且不相互影响．甲132108109118123115105106132149乙138109131130132123130126141142（1）求甲同学成绩的中位数和平均数；（2）现从乙同学的优秀的成绩中抽取两次成绩，求至少有一次成绩超过140的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）将甲同学的成绩从小到大进行排列能求出甲同学成绩的中位数，利用平均数公式能求出甲同学成绩的平均数．（2）因为乙同学优秀的成绩有：131，132，138，141，142，利用对立事件概率计算公式能求出至少有一次成绩超过140的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）将甲同学的成绩从小到大进行排列：105，106，108，109，115，118，123，132，132，149，故甲同学成绩的中位数为=116.5．…甲同学成绩的平均数为：（132+108+109+118+123+115+105+106+132+149）=119.7．…（2）因为乙同学优秀的成绩有：131，132，138，141，142，…则至少有一次成绩超过140的概率为p=．…【点评】本题考查中位数、平均数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．21.（本小题满分13分）若，且，求证：参考答案：要证，只需证即，因，只需证即，

………………6分因为，则

………………10分因为，所以，从而所以．

………………13分22.（本题满分8分）为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的、、，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设.（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；（2）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求

的分布列及数学期望.参考答案：解：解:记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件

，=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，,相互独立，（i，j，k=1，2，3，）相互独立，且P（）=，P（）=，P（）=（1）

他们选择的项目所属类别互不相同的概