数学人教八年级上册（2013年新编）11-1-2 三角形的高、中线与角平分线（当堂达标）

11.1.2三角形的高、中线与角平分线夯实基础篇一、单选题：（每题3分，共18分）1．在△ABC中，画边BC上的高，正确的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】【详解】解：A．此图形中AD是BC边上的高，符合题意；B．此图形中CE不是BC边上的高，不符合题意；C．此图形中BE是AC边上的高，不符合题意；D．此图形中BG是△BCG中BC边上的高，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查三角形高的画法，解题关键在理解底与高的对应关系，作钝角三角形的高是易错点．2．如图，在中，边上的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据三角形高的定义是从一个顶点到它对边的垂线段即可判断．【详解】根据三角形的高的定义，在△ABC中，BC边上的高应是过点A垂直于BC的线段，从图中可以看出，过点A垂直于BC的线段是AE，所以AE是BC边上的高．故选：C．【点睛】本题考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形的高概念，仔细观察图形中符合定义的线段即可．3．下列叙述中错误的一项是（

）．A．三角形的中线、角平分线、高都是线段．B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部．C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形．D．三角形的三条角平分线都在三角形内部．【答案】C【解析】【分析】根据三角形的角平分线、中线、高的概念和性质进行一一判断．【详解】A：三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；B：锐角三角形三条高在三角形内部，直角三角形一条高在三角形内部，钝角三角形一条高在三角形内部，正确；C：只有一条高在三角形内部的三角形是钝角三角形或直角三角形，错误；D：锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确故选：C【点睛】本题考查三角形的三线，掌握高、中线、角平分线的定义是解题关键．4．已知，AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，则AC的长度是（

）A．8cm B．8.6cm C．9cm D．9.6cm【答案】D【解析】【分析】根据等面积法即可求解．【详解】解：∵AE、BD是的高线，AE=6cm，BD=5cm，BC=8cm，∴，即cm．故选D．【点睛】本题考查了三角形高线的相关计算，理解三角形的高线的意义是解题的关键．5．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意，AD是△ABC的边BC上的中线，可得BD=CD，进而得出△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，相减即可得到周长差．【详解】解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键．6．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；【详解】解：A．∵是的中线∴，故选项正确，不符合题意；B．∵是的角平分线∴故选项正确，不符合题意；C．∵分别是的高，∴故选项正确，不符合题意；D．不一定成立，故选项错误，符合题意．故选：D．【点睛】此题考查三角形的高线，角平分线和中线，关键是根据三角形的高线，角平分线和中线的定义进行判断即可．二、填空题：（每题3分，共15分）7．如图，，则线段______是中边上的高．【答案】【解析】【分析】根据三角形高线的定义判断即可；【详解】∵，∴中BC边上的高是AE．故答案是AE．【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高线，准确分析判断是解题的关键．8．如图，△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边的中线，若△ABC的面积是24，AE＝3，则点B到直线AD的距离为________．【答案】4【解析】【分析】由三角形的中线平分三角形面积的性质可得△ABE的面积，再由三角形面积公式即可求得结果．【详解】∵AD是△ABC的BC边上的中线，，∴．∵BE是△ABD中AD边上的中线，∴．设点B到直线AD的距离为h，则，即，∴h=4．即点B到直线AD的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形一边上的中线平分三角形面积的性质、三角形面积等知识，掌握三角形一边上的中线平分三角形面积的性质是本题解答的关键．9．如图，在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的中线和高，AE＝6，S△ABD＝15，则CD＝_____．【答案】5【解析】【分析】由利用三角形的面积公式可求得BD的长，再由中线的定义可得CD=BD，从而得解．【详解】解：∵S△ABD=15，AE是BC边上的高，∴BD•AE=15，则×6BD=15，解得：BD=5，∵AD是BC边上的中线，∴CD=BD=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查三角形的中线，三角形的高，解答的关键是由三角形的面积公式求得BD的长．10．如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则______．【答案】2.4【解析】【分析】根据面积相等可列式，代入相关数据求解即可．【详解】解：∵，，∴∵，，，∴故答案諀：2.4【点睛】此题主要考查了运用等积关系求线段的长，准确识图是解答本题的关键．11．已知中，，中线把分成两个三角形，这两个三角形的周长差是，则的长是__________．【答案】42cm或18cm【解析】【分析】先根据三角形中线的定义可得BD=CD，再求出AD把△ABC周长分为的两部分的差等于|AB-AC|，然后分AB＞AC，AB＜AC两种情况分别列式计算即可得解．【详解】∵AD是△ABC中线，∴BD=CD．∵AD是两个三角形的公共边，两个三角形的周长差是12cm，∴如果AB＞AC，那么AB-AC=12cm，即AB-30=12cm∴AB=42cm；如果AB＜AC，那么AC-AB=12cm，即30-AB=12cmAB=18cm．综上所述：AB的长为42cm或18cm．故答案为：42cm或18cm．【点睛】考查了三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．三、解答题：（每题8分，共40分）12．如图，BD和CE是△ABC的中线，AE=3cm，CD=2cm，若△ABC周长为15cm，求BC边的长．【答案】【解析】【分析】根据中线定义可得AB，AC，根据△ABC周长公式即可求解．【详解】∵BD和CE是△ABC的中线，∴，，∵△ABC周长为15cm，即，∴．【点睛】本题考查三角形中线定义、三角形周长公式，解题的关键是根据三角形中线求出AB和AC的长．13．如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，求AB，BC．【答案】AB＝9cm，BC＝3cm．【解析】【分析】由BD是中线，可得AD=CD，又由△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，△ABC的周长是21cm，AB=AC，可得AB-BC=6cm，2AB+BC=21cm，继而求得答案．【详解】解：∵BD是中线，∴AD＝CD＝AC，∵△ABD的周长比△BCD的周长大6cm，∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，∵△ABC的周长是21cm，AB＝AC，∴2AB+BC＝21cm②，联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．【点睛】本题考查了三角形周长与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．14．如图，△ABC的顶点都在边长为1的正方形方格纸的格点上，将△ABC向上平移4格．(1)请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；(2)在图中画出三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)△ABC的面积是．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)8【解析】【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△A′B′C′即可；（2）找出线段AC的中点E，然后连接BE，再过点C向AB所在的直线作垂线，垂足为D即可；（3）直接根据三角形的面积公式即可得出结论．(1)如图所示，三角形A′B′C′就是所要求做的图形；(2)如图所示，三角形△ABC的高CD、中线BE；(3)S△ABC＝．故△ABC的面积是8．【点睛】本题考查作图－平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．15．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．(1)求的长度；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用等面积法，根据，代值求解即可；（2）根据已知条件和（1）中求出的长，利用三角形面积公式得出，代值求解即可．(1)解：在中，，是边上的高，，，，根据可得；(2)解：在中，是边上的中线，且，，在中，是边上的高，且由（1）知，．【点睛】本题考查三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线与高线是解决问题的关键．16．请补全证明过程及推理依据．已知：如图，BC//ED，BD平分∠ABC，EF平分∠AED．求证：BD∥EF．证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（______________）∵BC∥ED（________）∴∠AED=________（________________）∴∠AED=∠ABC∴∠1=________∴BD∥EF（________________）．【答案】角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠AED，∠2=∠ABC，根据平行线的性质定理得出∠AED=∠ABC，求出∠1=∠2，再根据平行线的判定定理推出即可．【详解】证明：∵BD平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠1=∠AED，∠2=∠ABC（角平分线的定义）∵BC∥ED（已知）∴∠AED=∠ABC（两直线平行，同位角相等）∴∠AED=∠ABC∴∠1=∠2∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；已知；∠ABC；两直线平行，同位角相等；∠2；同位角相等，两直线平行．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键．能力提升篇一、单选题：（每题3分，共9分）1．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（

）A．7 B．10 C．7或11 D．7或10【答案】C【解析】【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①或②解方程组①得，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．2．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=，x=．则四边形PDCE的面积为x+y=．故选B．【点睛】此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．3．如图，△ABC的面积是24，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】A【解析】【分析】首先根据点E是AD的中点，可知，，再根据点D是BC的中点，可得，即可得，然后根据点F，G是BE，CE的中点，得，，可知FG是△CBE的中位线，可得，即可得出答案．【详解】∵点E是AD的中点，∴，．∵点D是BC的中点，∴，∴．∵点F，G是BE，CE的中点，∴，，∴FG是△CBE的中位线，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形的面积和中线的关系，三角形中位线的定义和性质等，将一个三角形的面积转化为求三个小三角形的面积是解题的关键．二、填空题：（每题3分，共9分）4．如图，在中，，P是边上的任意一点，于点E，于点F.若，则______．【答案】【解析】【分析】根据，结合已知条件，即可求得的值．【详解】解：如图，连接于点E，于点F，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的高，掌握三角形的高的定义是解题的关键．5．如图，在ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且ABC的面积等于24cm2，则阴影部分图形面积等于_____cm2【答案】6【解析】【分析】因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，可得△EBC的面积是△ABC面积的一半；利用三角形的等积变换可解答．【详解】解：如图，点F是CE的中点，∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC，而高相等，∴S△BEF=S△BEC，∵E是AD的中点，∴S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，∴S△EBC=S△ABC，∴S△BEF=S△ABC，且S△ABC=24cm2，∴S△BEF=6cm2，即阴影部分的面积为6cm2．故答案为6．【点睛】本题考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，面积之比等于底边（高）之比．6．在中，，cm，cm，点是的中点，点从点出发，沿线段以每秒2cm的速度运动到．当点的运动时间____________秒时，的面积为．【答案】1或3【解析】【分析】分为两种情况讨论：当点P在AD上时，当点P在DB上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．【详解】∵，点是的中点，∴AD=BD=4cm，当点P在AD上时，AP=2t，∴PD=4-2t∵的面积为，∴PD×BC=6，即解得t=1s，当点P在BD上时，AP=2t，∴DP=2t-4，∵的面积为，∴DP×BC=6，即，解得t=3s，综上，当点运动时间1或3秒时，的面积为．故答案为：1或3．【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键．三、解答题：（9分）7．如图，在中，、分别是的高和角平分线，．(1)若，求的度数；(2)试用、的代数式表示的度数_________．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠ACB的值，再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∠DCE．（2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1)解：，，是的平分线，．是高线，，，．(2)解：，，是的平分线，．是高线，，，．【点睛】本题主要考查角平分线，高线以及角的转换，掌握角平分线，高线的性质是解题的关键．思维拓展篇1.阅读下列材料：阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在中，是的高，是边上一点，、分别与直线，垂直，垂足分别为点、．求证：．阳阳发现，连接，有，即．由，可得．他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示，他猜想此时、、之间的数量关系是：．请回答：（1）请补全阳阳同学证明猜想的过程；证明：连接．________，____________