9-随机过程引论课件

在概率论中,为了描述随机现象，我们定义了随机变量，即对应于一基本事件eS(S为样本空间)，用一个或几个数来描述。但还有许多随机现象,对于一个随机试验的结果e,仅用一个或几个数来描述是不够的,有些随机现象还必须研究它的发展过程,这种随机现象对应于一次随机试验,其结果需要用时间

t

的一个函数来描述,于是就产生了随机过程。第9章随机过程引论引例：热噪声电压假如我们对某电子元件两端的热噪声电压作一次“长时间”观察测量，得到如图中所示的一条电压－时间函数x1(t)。如在相同条件下，独立地再进行一次测量，得到的电压－时间函数是不同的，可能是x2(t)

或x3(t)...

等等。这样，不断地独立地再进行一次次的测量，就可以得到一簇不同的电压－时间函数，这簇函数从另一角度刻画了热噪声电压。随机过程研究的对象是随时间而变化的随机现象。tx

(t)O

9.1随机过程的概念9.1.1随机过程的概念9.1.2随机过程的分类

9.1.1随机过程的概念

定义9.1设E是随机试验，样本空间为S={e}，若对每个eS,总有一个时间函数X(t,e),

tT与它相对应,这样对于所有的eS,

得到一族时间t的函数{X(t,e),tT

},称为随机过程，简记为{X(t),tT

}。

X(t)族中的每一个函数称为这个随机过程的样本函数或物理实现。(1)对于一个特定的试验结果ei

，则X(t,ei)是仅依赖于t的函数，称为随机过程的样本函数，它是随机过程的一次物理实现。因此随机过程也可以看作对每个e依某种规律相对应一个参数t的函数X(t,e)即在概率空间上定义了一个随机函数。tS由定义可知二元函数X(t,e)的含义如下：(2)对于每一个固定的时刻ti

,X(t,e)取决于e,

所以是定义在S上的随机变量，见图tS定义9.2

：

设

，如果对于每一个

，都有一个随机变量与它相对应，则称随机变量族 为随机过程。tS(1)如果一个随机过程X(t)对于任意的tT,X(t)都是连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。随机过程可以根据其状态空间和参数集的连续或离散进行分类。若对任意的tT,X(t)是离散型随机变量，称此随机过程为离散型随机过程。 9.1.2随机过程的分类若参数T为离散集合，则称随机过程为离散参数随机过程或者随机序列，随机序列的状态空间还是离散的，则称为离散参数链。(2)当参数T为有限区间或无限区间时，则称X(t)

是连续参数随机过程。以后若没特别指出，随机过程一词总是指连续参数随机过程。参数集T

状态空间I离散型连续型连续集离散集离散型随机过程连续型随机过程随机序列离散参数链例9.1

某城市的120急救电话台接收呼叫。固定t时，N(t)是一个随机变量；而对一切t≥0

时，就得到一族随机变量N(t),t≥0，这是一个连续参数、离散状态的随机过程。例9.2

考虑是一个随机过程,叫做随机相位正弦波。例9.3

抛掷一枚硬币的试验,样本空间S={H,T},

现定义9.2.1随机过程的分布9.2.2随机过程的数字特征9.2.3二维随机过程的分布函数和数字特征

9.2随机过程的统计描述9.2.1随机过程的分布对于n维随机变量，通常利用n维联合分布函数来描述它的统计规律性，随机过程是一族随机变量，所以，描述随机过程的统计规律性需要用有限维分布函数族。设{X(t),tT}为一随机过程。对每一个固定的t1T,称x(t1)的分布函数为随机过程的一维分布函数，它是x1和t1的二元函数。变动t1T

便得一族分布函数: 称为一维分布函数族。

同随机变量一样，若F(x1,t1)

对x1的偏导数存在,则称偏导数为随机过程的一维概率密度。称为一维密度函数族。显然，随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有普通随机变量的分布函数和概率密度的各种性质，其差别在于前者还是时间t的函数。一维分布函数族只能描述随机过程X(t)在某一孤立时刻的统计特性。为了描述随机过程在不同时刻的状态之间的联系，需要定义多维分布函数族。称为随机过程的二维分布函数族。为随机过程的二维分布密度。为随机过程 X(t)的n维分布密度。称为过程X(t)的n维分布密度族。科尔莫戈罗夫定理：

有限维分布函数族完全决定了随机过程的统计特性。

n维分布函数族也只能近似地描述随机过程的统计特性，显然n

越大，n维分布函数族描述的随机过程的特性愈趋完善。虽然随机过程的有限维分布函数族可以完整地描述随机过程的统计特性，但是，在实际应用中要确定随机过程的有限维分布函数族是比较困难的，有时甚至不可能,而在许多实际应用中往往研究若干个常用的数字特征就能满足要求。9.2.2随机过程的数字特征下面，我们仿照对随机变量的研究方法讨论几个重要的数字特征。1.均值函数

我们把随机变量X(t)（随机过程对应于某个固定t值）的二阶原点矩记作称为随机过程X(t)的均方值函数。2.均方值函数与方差函数X2(t)是t的确定函数，它描述了随机过程的诸样本函数对数学期望X(t)的偏离程度见图示。称为随机过程X(t)的方差函数。而把X(t)的二阶中心矩。

X2(t)

是非负函数，它的平方根称为随机过程的均方差函数。

表示随机过程在某时刻对于均值的平均偏离程度。 均值和方差刻划了随机过程在各个时刻的统计特性，但不能描述过程在不同时刻的相关关系。 自相关函数（简称相关函数）就是用来描述随机过程两个不同时刻状态之间内在联系的重要数字特征。 均值和方差刻划了随机过程在各个时刻的统计特性，但不能描述过程在不同时刻的相关关系，这点可从下图所示的两个随机过程X(t)和Y(t)来说明，从直观上看，它们具有大致相同的均值和方差，但两者的内部结构却有非常明显的差别。

3.自相关函数具有相同数学期望和方差的两个不同的随机过程称为随机过程X(t)的自相关函数，简称相关函数，记作RX(t1,t2)。称为随机过程的自协方差函数，简称协方差函数。此时相关函数即为均方值函数X2(t)。均值函数均方值函数方差函数标准差函数自相关函数自协方差函数随机过程的数字特征随机过程数字特征之间的关系均值函数自相关函数最主要的数字特征例9.4

解均值函数相关函数协方差函数方差函数例9.5

解例9.6

求随机相位正弦波解(1)均值函数(2)自相关函数9.3.1独立增量过程9.3.2泊松过程的数学模型9.3.3维纳过程的数学模型

9.3几种重要的随机过程特征:在互不重叠的区间上,状态的增量是相互独立的。9.3.1独立增量过程可以证明注意(1)为了简便，不失一般性，通常可令独立增量过程在起始时间t0

=0的 如果增量具有平稳性,那么增量X(t)X(s)的分布函数只依赖于时间差ts,而不依赖于t和s本身。(3)如果增量具有平稳性,则称为齐次独立增量过程。(4)独立增量过程的协方差函数CX(s,t)方差函数(4)独立增量过程的协方差函数CX(s,t)。1.计数过程考虑下列一些事件:在[0,

t)时间内电话总机接到的顾客“呼叫”的次数；某服务系统在[0,t)时间内要求服务的顾客人次；机器在[0,t)时间内发生故障的次数等等。用N(t)表示在[0,t)时间内发生的事件数。这些事件的共同特点都是考虑在[0,t)时间内某类事件发生的次数。

{N(t),t0}是一状态取非负整数、时间参数连续的随机过程，称为计数过程。9.3.2泊松过程它的状态空间I={0,1,2,3,}；。102345它的样本函数都是递增的阶梯函数。它的一个典型的样本函数如图所示，使X(t)的值发生跃变的时刻ti,i=1,2,也就是某类事件发生的时刻。由定义计数过程满足以下条件

(1)N(t)0;(2)N(t)取整数；

(3)若s<t,则N(s)<N(t);(4)当s<t,则N(t)−N(s)等于区间[s,t]中出现的质点数。如果计数过程{N(t),t0},对于任意的s<t，区间[s,t]内出现的质点数N(t)−N(s)的分布仅依赖于t−s，而与起点t无关，则计数过程是平稳增量过程。如果将过程的增量X(t)-X(t0)记为X(t0,t),0t0<t,它表示时间间隔[t0,t)内出现的质点数，则事件“在[t0,t)内出现k个质点”就可以表示为{X(t0,t)=k},其概率可以记为

Pk(t0,t)=P{X(t0),t=k},

k=0,1,2,。2.泊松过程则称此过程为

泊松过程。

3.泊松过程满足的条件是相互独立的；式中o(t)是当t0时，关于t的高阶无穷小量,

常数0。即在不相重叠的区间上的增量具有独立性。即在[t,t+t)内事件出现二次及二次以上的概率与出现一次的概率相比，可忽略不计。

将上面(2)(3)合起来可得到在[t,t+t)内事件不出现的概率为：定义9.6

若随机过程{X(t),t0},满足以上4个条件，则称{X(t),t0},为泊松过程。定理9.1

定义9.5与定义9.6是等价的。下面根据泊松过程的定义来讨论它的几个数学特征：均值函数、自方差函数及自相关函数。4.泊松过程的统计特性设{X(t),t>0}是泊松过程，对任意t,

t0[0,+),且t0t有即表示单位时间内事件A发生的平均次数。(1)均值函数(2)方差函数：(3)协方差函数(4)相关函数例9.7:设和为两个相互独立的泊松过程,强度分别为和,求证为强度是的泊松过程.解：于是：例9.8解定义9.8

如果随机过程{X(t),tT}的任何有限维分布都是正态分布，则称{X(t),tT}为正态过程，或称为高斯过程。9.3.3正态过程例9.9解

因为A,B是相互独立的正态变量,所以(A,B)是二维正态变量。都是A,B的线性组合。1.物理背景

英国植物学家布朗(Brown)在显微镜下,观察漂浮在平静的液面上的微小粒子,发现它们不断地进行着杂乱无章的运动