6.4.1平面几何中的向量方法+教案-2021-2022学年高中数学（人教A版2019）必修第二册

6.4.1平面几何中的向量方法一、教学目标1.会用向量方法解决简单的几何问题2.体会向量在解决几何问题中的作用3.通过对用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等数学素养二、教学重点用向量方法解决几何问题的基本方法：向量法解决几何问题的“三步曲”教学难点能够将几何问题转化为平面向量问题三、教学过程1、复习回顾问题1：（1）平面两个向量的数量积：（2）向量平行的判定:（3）向量平行与垂直的判定:（4）平面内两点间的距离公式：（其中，）（5）求模：；；问题2：平面几何元素及其表示与向量及其运算的转化几何元素及其表示向量及其运算点A线段AB，AB两点距离夹角∠AOB直线a//ba//b直线A、B、C三点共线直线a⊥ba⊥ba·b＝02、探索新知【例1】如图，三角形ABC中，D为AB的中点，E为AC的中点，求证：DE∥BC，DE=12证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，所以QUOTE𝐴𝐷=12𝐴𝐵AD=12AB，QUOTE𝐴𝐸=1从而QUOTE𝐷𝐸=𝐴𝐸−𝐴𝐷=12𝐴𝐶−12𝐴𝐵=所以QUOTE𝐷𝐸=12𝐵𝐶DE=12BC于是DE∥BC，DE=12BC【例2】如图,在平行四边形ABCD中,你能发现对角线AC与DB的长度和邻边AB与AD长度之间的关系吗?解：方法一：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图，取QUOTE为基底，设QUOTE𝐴𝐵=𝑎，𝐴𝐷=𝑏AB=a，AD=b，则QUOTE𝐴𝐶=𝑎+𝑏AC=a+第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：QUOTE𝐴𝐶2=(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2上面两式相加，得QUOTE𝐴𝐶2+𝐷𝐵2=第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：QUOTE𝐴𝐶2+𝐵𝐷2=2(方法二：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系方法规律：1、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(3)把运算结果“翻译”成几何关系2、用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤(1)利用线性运算证明的四个步骤：①选取基底②用基底表示相关向量③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系④把几何问题向量化.(2)利用坐标运算证明的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系②把相关向量坐标化③用向量的坐标运算找出相应关系④把几何问题向量化四、课堂练习P39练习1、所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.解：（基底法）设AD＝a，AB＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0又DE＝DA＋AE＝－a＋eq\f(b,2)，AF＝AB＋BF＝b＋eq\f(a,2)所以AF·DE＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0故AF⊥DE，即AF⊥DE.（坐标法）如图建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，所以AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)因为AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0所以AF⊥DE，即AF⊥DE五、课堂小结1、向量方法解决平面几何问题“三步曲”2、向量的线性运算法（基底法）的四个步骤：①选取基底②用基底表示相关向量③利用向量的线性运算或数量积找相应关系④把几何问题向量化向量的坐