5.1.1任意角教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1任意角教学设计教材分析（1）本课是人教版普通高中数学必修第一册（2019年6月第1版）中第五章第一节《任意角和弧度制》的第一课时。现实世界中普遍存在着周而复始的现象，对这些现象中变量关系和规律的抽象，就形成了本章的研究对象——三角函数。单位圆是研究三角函数的重要工具，借助它的直观，可以使学生更好地理解三角函数的概念和性质。引入任意角和弧度制，建立了角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定了基础。（2）本章的内容建立在初中学过的角度概念后，教材首先从借助角的大小变化刻画圆周运动出发，结合体操中的转体、齿轮旋转等时机问题，引出角的概念的推广问题；并借助具体列子，将角的概念推广到任意角，在此基础上引出象限角概念、终边相同的交的表示。本节课引导学生灵活运用已学的知识，学会观察、发现问题，通过独立思考和自主探究得到结论，能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，渗透类比、联系、推广、特殊化、数形结合等数学思想，发展学生直观想象的核心素养。学习者分析（学习基础和学习障碍）（1）从已学知识来看，学生已经掌握了角的概念、平面图形旋转等知识，指导选装的“三要素”，对旋转的定性刻画，可以作为刻画任意角的基础。（2）从学习障碍来看，学生过去接触的角都在0°到360°，关于角的认识形成一定的思维定势。教学目标知识与技能目标：利用直角坐标系，理解借助角的大小变化可以刻画圆周上一点的位置变化，体会推广角的概念的必要性，从而掌握任意角的概念。过程与方法目标：通过自主探究和小组讨论的方式加深知识的理解，感受周期变化现象的特点，领会类比、联系、推广、数形结合等数学思想，进而提高分析问题、解决问题、推理论证的能力，发展直观想象的核心素养。情感态度和价值观目标：通过本节课的学习，学生学习的求知欲得以激发，良好的数学思维习惯得以培养，进一步体会数学的严谨性，发现数学的魅力。教学重难点教学重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，正角、负角、象限角、终边相同角的定义。用集合表示终边相同的角教学难点：任意角概念的形成过程（建构）用集合表示终边相同的角教学准备几何画板教学过程教学环节师生活动设计意图创设情境导入新课（一）温故知新教师活动：教师利用PPT展示思考：请同学们回忆，我们已经学过哪些角？说一说这些角的范围。学生活动：学生回顾所学知识并回答：锐角、直角、钝角、平角、周角0°—360°教师活动：教师评价学生的回答，利用PPT展示图片并引导学生进一步思考：在现实生活中有没有超出（0°，360°）范围内的角？教师总结归纳：比如在体育赛事中，我们会听到这样的播报：体操运动员的“前空翻转体一周半（）”和“后空翻转体两周（）”．还有跳水运动员的“向内、向外转体三周（）”．我们提炼出描述角的关键词，会发现它们都围绕两个方面来描述，一个是旋转方向，一个是旋转量。因此，我们需要对角的概念进行推广。通过回顾前面所学的知识，让学生观察、感知先前学习的角的局限性，归纳刻画角的两个方面——旋转量和旋转方向，进而说明探究任意角的必要性，激发学生的学习兴趣，提高学生发现问题的能力。新知探索环节一、角的概念的推广教师活动：教师通过PPT展示：如图，一条射线的端点O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角。O叫作角的顶点，OA叫作角α的始边，OB叫作角α的终边。平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。OA正角OA正角负角按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角．记作：角或，简记为．说明：决定一个角的要素是旋转方向和旋转量。旋转中心——角的顶点旋转方向——逆时针和顺时针，用正负数表示旋转量——当旋转超过一周时，旋转量超过360°，角度的绝对值可大于360°。提问：请同学们说说以下这些角分别是什么角？学生活动：观察并回答：正角，750°，正角α=210°，负角β=−150°环节二、相等角和相反角教师活动：教师利用PPT展示：设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线并讲授：若它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么称α=β。类似于实数中的相反数我们引入相反角的概念，我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．类似于实数的相反数是，角的相反角记为．设α和β任意两个角。我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边对应的角是α+两个角可以相加，两个角也可以相减．类似实数减法中“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减去一个角等于加上这个角的相反角．即。环节三、象限角xyO问题xyOBBAA【师生活动】角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．追问：根据终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？【师生活动】根据角的终边所在象限，将角分为第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角．这样我们得到了象限角的概念：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．练习5：在直角坐标系中作出下列各角：，，，，并回答它们的终边有什么关系？【师生活动】我们发现，，，这四个角的终边相同．也就是说，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角不唯一．追问：还有没有与角终边相同的角？它们与角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？【师生活动】有，且与角终边相同的角有无数个．，，,．可以用表示．追问：将推广到一般角，结论是什么？【师生活动】．一般地，我们有：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和从角的概念着手，让学生积极主动参与探究过程；并运用多媒体的展示，节省教师板书时间的同时也更具直观性，方便学生进行观察。学生通过观察和定义，体验相等角和相反角，教会学生解决和研究问题，增强数学学习的成功体验。教师一步步引导学生思考，体现了教师在课堂中的主导地位。让学生体会在直角坐标系内研究角是自然和合理的．通过对特殊角之间关系的研究得到一般性的结论，符合学生由特殊到一般的认知规律，并且培养了学生的数学抽象素养．学生对象限角有更加深入的感知；紧接着呈现例题，学生通过对问题的思考，体验知识方法，增强运用能力。实战演练巧用新知巩固练习教师通过PPT展示有关应用的不同类型、不同层次的练习题：引导学生独立思考并在练习本上作答，5分钟后请学生代表在黑板上进行板演，完成后教师针对结果予以评价并总结。例1在～范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角．解：方法一：，所以在～范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角．方法二：与角终边相同的角可以写成，当时，，它是第二象限角．例2写出终边在y轴上的角的集合．分析：这些角终边落在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？xyOxyO解：终边落在y轴非负半轴上的角构成集合，终边落在y轴非正半轴上的角构成集合，观察发现，中的角均相差的整数倍，用集合表示是．另外，我们还可以用这种方式求出：．例3写出终边在直线上的角的集合．中满足不等式的元素有哪些？分析：在求出角之前，你能判断满足条件的角有几个吗？判断的根据是什么？【师生活动】6个．所求角的范围包含了三周，每周都有两个符合条件的角．解：在～范围内，终边在直线上的角有两个：，．xxyO因此，终边在直线上的角的集合．中适合不等式的元素有，，，，，．主要考察学生是否掌握本节课的内容，提高学生思考、分析及解决问题的能力，及时巩固新知识，提高学生的思维的灵活性。找学生代表上台演示，能够及时发现并纠正学习中的误区或漏洞，充分体现学生的主体地位。教师针对学生的练习结果，统一订正，对学生的表现作出及时评价，体现了