平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律2.4平面向量的数量积及运算律永嘉中学周东欣复习思考:向量的加法向量的减法实数与向量的乘法两个向量的数量积运算结果向量向量向量？？平面向量的数量积及运算律物理意义下的“功”θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算？如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，

（１）力F所做的功W=

。

（２）

请同学们分析这个公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是

量,θ是

。位移SOA问题θFFθS平面向量的数量积及运算律物理意义下的“功”θsF一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算？其中力F

和位移s是向量，是F与s的夹角，而功是数量.平面向量的数量积及运算律两个非零向量的夹角两个非零向量a

和b，作，，则

叫做向量a和b的夹角．OABabOABba若，a

与b

同向OABba若，a

与b

反向OABab若，a

与b

垂直，记作①②③平面向量的数量积及运算律平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，我们把数量

叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b

，即规定：零向量与任意向量的数量积为0，即0．平面向量的数量积及运算律（1）两向量的数量积结果是一个数量，符号由夹角决定.

（3）

a·b不能写成a×b，a×b

表示向量的另一种运算．与以往运算法则的区别及注意点（2）前面所提到的力所做的功,就是力F与其作用下物体

产生的位移S的数量积F·S.

而向量的加法和减法的结果还是一个向量.平面向量的数量积及运算律例题讲解例1．已知|a|=5,|b|=4，a与b

的夹角，求a·b.解：a·b=|a||b|cosθ平面向量的数量积及运算律练习1.已知|p|=8,|q|=6,向量p和q

的夹角是60°,求p·q.练习2.设|a|=12,|b|=9,a·

b=−54,求向量a和b的夹角.(1)在下列各图中作出│b│COSθ的几何图形，并说明它的几何意义是什么？OAB(2)abOAB(3)ababAO过b的终点B作OA＝a的垂线段，垂足为，则由直角三角形的性质得│b│COSθ=B|b|cosθ的几何图形及其表示的几何意义,|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0数量积a•b等于a的长度│a│与b在a的方向上的投影│b│COSθ的积向量数量积的几何意义a•b=│a││b│COSθOB＝│b│COSθA1向量在向量上的投影ba向量在向量

上的投影baabθOBAOA1＝│a│COSθ平面向量数量积a·b的几何意义向量a与b的数量积等于a的长度|a|

与b在a的方向上的投影|b|cosθ的积.数量积的性质平面向量的数量积及运算律设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则（1）e·a=a·e=|a|cos

（2）a⊥ba·b=0

(判断两向量垂直的依据)

（3）当a与b同向时，a·b=|a|·|b|，当a与b反向时,a·b=−|a|·|b|.特别地(用于计算向量的模)（5）|a·b|≤|a|·|b|（4）(用于计算向量的夹角)6.数量积的运算律：平面向量的数量积及运算律数量积运算律？练习.判断正误1．若a=0，则对任一向量b

，有a

·

b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a

·b=0，则b=0.4．若a

·

b=0，则a

、

b中至少有一个为0．5．若b

≠0，a

·

b=b

·

c，则a=c.6．若a

·

b=a

·

c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a,有√×××××√平面向量的数量积及运算律应用和提高：1设x，y轴正方向上的单位向量分别为i和j，若a＋b=2i－8j，a－b=－8i＋16j，求a·b．想一想

22.4平面向量的数量积及运算律小结:(1)向量的数量积的物理模型是力的做功.(2)a·

b

的结果是个数量.(3)