矩阵初等变换与线性方程组

第三章

矩阵的初等变换与线性方程组3.1

高斯消元法初等矩阵矩阵的秩线性方程组解的判定线性方程组的解取决于

an1

x1

+

an

2

x2

+

+

ann

xn

=

bn

a

x

+

a

x

+

+

a

x

=

b21

1

22

2 2

n

n

2

a11

x1

+

a12

x2

+

+

a1n

xn

=

b1系数

aij

i,

j

=1,2,,n),bi

i

=1,2,,n常数项回顾:

根据克拉默法则(1)21

1

22

2

2n

n

2

a11

x1

+

a12

x2

++

a1n

xn

=

b1

a

x

+

a

x

++

a

x

=

b线性方程组的一般形式am1

x1

+

am2

x2

++

amn

xn

=

bmx1,x2

,,xn代表n个未知量；aij

(i

=1,2,...,m;j

=1,2,...,n)称为方程组的系数；b1,b2

,,bm

称为常数项。方程的个数m

没有限制，可以：m

<n，方程组是否有解？m

=n，方形线性方程组，Cramer法则；m

>n，显然，可解。解是怎样的？是求解线性方程组的一种基本方法。其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组。即得到能直接求出解或者能够直接判断其无解的通解方程组。第一节高斯消元法1

2

3例1

解线性方程组

2x1

+

x2

-

3x3

=

9,x1

+

x2

+

x3

=

4,3x

+

5x

+

2x

=

32.解Step1

交换第一、第二个方程位置，得1

2

33x1

+

x2

+

x3

=

4,

2x

+

x

-

3x

=

9,3x

+

5x

+

2x

=

32.

1

2分析：用消元法解下列方程组的过程．Step1

交换第一、第二个方程位置，得1

2

3x1

+

x2

+

x3

=

4,

2x

+

x

-

3x

=

9,3x

+

5x

+

2x

=

32.

1

2

3Step2把第一步中得到的方程组得第一个方程的－2倍加到第二个方程上，得x1

+

x2

+

x3

=

4,-x2

-

5x3

=1,3x

+

5x

+

2x

=

32.

1

2

3Step2把第一步中得到的方程组的第一个方程的－2倍加到第二个方程上，得x1

+

x2

+

x3

=

4,-x2

-

5x3

=1,3x

+

5x

+

2x

=

32.

1

2

32

3Step3同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的－3倍加到第三个方程上，得x1

+

x2

+

x3

=

4,

-x

-

5x

=1,

2x

-

x

=

20.

2

3Step3同样的把第一步中得到的方程组的第一个方程的－3倍加到第三个方程上，得2

3x1

+

x2

+

x3

=

4,

-x

-

5x

=1,

2x

-

x

=

20.

2

32

33Step4把上方程组中的第二个方程的2倍加到第三个方程上，得x1

+

x2

+

x3

=

4,

-x

-

5x

=1,-11x

=

22.Step4得到的方程组具有这样的特点：自上而下未知数个数依次减少称为阶梯形状，称这样的方程组为阶梯形方程组。2

33x1

+

x2

+

x3

=

4,

-x

-

5x

=1,-11x

=

22.第三个方程两边同乘以（－1/11）得：x3＝－2；将x3＝－2代入第二个方程得：x2＝9；再将x2＝9，x3＝－2代入第一个方程得：x1＝－3。从而，方程组的解为：x1

=

-3,

x2

=

9,

x3

=

-2例2(2)求解线性方程组1

2

3

43x1

+

6

x2

-

9

x3

+

7

x4

=

9,4

x

-

6

x

+

2

x

-

2

x

=

4,x1

+

x2

-

2

x3

+

x4

=

4,2

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

2,123

‚

24解1(B

)(1)2(B

)1

«3

‚

221

2

3

4

2

x

-

3

x

+

x

-

x

=

2,2

x1

-

x2

-

x3

+

x4

=

2,x1

+

x2

-

2

x3

+

x4

=

4,12342

-

33

-

2

14

-

3

12

3

4-

5

x2

+

5

x3

-

3

x4

=

-6,

3

x2

-

3

x3

+

4

x4

=

-3,3x1

+

6

x2

-

9

x3

+

7

x4

=

9,

x1

+

x2

-

2

x3

+

x4

=

4,1

2

x

-

2

x

+

2

x

=

0,

234(B3

)4(B

)43

42x

=

-3,2

x4

=

-6,x

-

x

+

x

=

0,

x1

+

x2

-

2

x3

+

x4

=

4,1234212

·3

+

5

24

-

3

20

=

0,x4

=

-3,x2

-

x3

+

x4

=

0,

x1

+

x2

-

2

x3

+

x4

=

4,12343

«

44

-

2

3用“回代”的方法求出解：32

x4

=

-3

x=

c

+

3=

c

x

x1

=

c

+

4解得

x1

=

x3

+

4,

x2

=

x3

+

3,

x4

=

-3,

x3可任意取值.3令x

=

c,方程组的解为分析上例：上述解方程组的方法称为消元法．始终把方程组看作一个整体变形，我们对方程组反复进行了三种变换，即：互换两个方程的位置；用一个非零数乘某个方程；把一个方程的k倍加到另一个方程上。我们称着三种变换为线性方程组的初等变换。3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．ji

«若(A)(B),

则(B)(

A);ji

«若(A)i

+

k

j若(A)i·

k(B),

则(B)(

A);i‚

k(

A).i

-

k

j(B),

则(B)说明：线性方程组的初等变换是可逆的。即，方程组（1）经初等变换化为一个新方程组，那么新方程组也可以经过初等变换还原为原方程组（1）。因而，方程组（1）与它经过若干此初等变换之后得到的新方程组是同解的。因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记

94

4

2

-

1

-

1

1

21

-

2

1

4

-

6

2

-

23

6

-

9

7B

=

(

Ab)

=

1则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)

的增广矩阵）的变换．增广矩阵a11

a12a21

a22a1na2nb1b2

aｍ1

aｍ2aｍnbｍ系数矩阵2122

a11

a12a1n

a2

n

a

m1

m

2mn

a

a

a

a定义1

矩阵的初等行变换是指下列三种变换：记做：（1）互换矩阵的第i行和第j行的位置；rj记做：

ri

«（2）用一个非零数k乘矩阵的第i行；kri（3）把矩阵的第

j

行元的

k倍加到第

i

行上。记做：

ri

+

krj若把定义中的行换成列，就得到矩阵的三种初等列变换！相应的记为：ci

«

cjkcici

+kcj初等行变换和初等列变换通称为矩阵的初等变换.等价关系的性质：A；B

,则

B

A;B,

B C

,则

A C

.反身性

A对称性若

A传递性若A具有上述三条性质的关系称为等价．定义2

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A

～

BrA～

B

,cA～

B

,初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．ri

«

rjir

·

kri

«

rj

;逆变换逆变换iir

·(

1

)

或

r

‚

k;kri

+

krj逆变换

ri

+

(-k

)rj

或

ri

-

krj

.如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，记做A

fi

B

。说明：对线性方程组施行一次初等变换，相当

于对它的增广矩阵施行一次对应的初等行变换，而化简线性方程组相当于用初等行变换化简它

的增广矩阵。139

34

1

2

2r

«

r00r2

-

2r1r3

-

3r101

01

r3

+

2r109

02

1

-3 9

1

1

1 4

1

1

1

-3

5

2

32

5

2

321

1

1 4

1

1

1 4

-1

-5

-1

-5

2

-1

20

0

-11

221

0

0

-31

0

0

1

-23

2

311-

1

r

,

r

-

5r-r2,

r1

-

r2

-

r3例3

例1中用消元法解线性方程的过程相当于对其增广矩阵施行初等行变换以最后一个矩阵为增广矩阵的方程组为xx１23=-3=9x

=-2因此方程组有唯一解，这个结果和消元法一致！用矩阵的初等行变换解方程组（2）：4

4-

41-

21-

62-

2-

1

1

2

2

-

1B

=

112

=

B2

2

3

6

-

9

7

9-

1-

11-

31-

1

3

6

-

9

7

9

1

1

-

2

1

42

21r

«

r3r

‚

230

=

B4

0

0

0

2

-

60

0

0

1

-

3=1B314

=1

B2r

0-2rr2

4-r32

-

03

3

0694

-

3r-

6-3r2-

32

-

01

-21

-

12

22

-

51

-

15

-

39

-

73

1

-

12

-

12

41

13r

-

2rr2

-

r3114r

-

3rr2

‚

2

11-

21r3

-

5r2

01-

11r4

-

3r25

=

B

0

13B

=

043410

-03=

Br4-

2r30r

«

r014

4001

00

20

-16-

300

00

1

0

-

1

0

4

0

1

-

1

0

3

0

0

1

-

3

0

0

0

0

0

0

-11

-11

1011

-12

-12r3

«

r44

3

0r

-

2r0r1

-

r2r2

-

r352

3x4

=

-3B

对应的方程组为

x

=

x

+

3

x1

=

x3

+

4或令x3

=

c,方程组的解可记作

-

3

4

c

c

+

4

x

x3

x1

0

-

3

1

0

1

4

x

=

x2

=

c

+

3

=

c

1

+

3

其中c为任意常数.特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；53

=

B

0

0

0

0

0

0

0

0

1

-

3

0

1

-

1

0

1

0

-

1

0

4（2）每个台

阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．矩阵

B

4

和

B

5

都称为行阶梯形矩阵.定义3

满足下列两个条件的矩阵称为阶梯矩阵。若有零行，则零行位于非零行的下方；每个首非零元（非零行从左边数起第一个不为零的元）前面零的个数逐行增加。首非零元为1，且首非零元所在列的其它元都为零的梯矩阵，称为最简梯矩阵，简称最简形。

1

2

300

04

00

0

032

0

2

-３

９

10

10

04

04

0１

-３

９1

10

01

10001

0

4

01

20

011iji1

j1a)r

,ar

+(-i

=

2,

3,...,

m.矩阵A的各行分别作行变换：问题：是否每个矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯矩阵呢？定理1

任意m

·

n矩阵A总可以经初等行变换化为梯矩阵及最简形。证明Step1

若A的元全为0,

A已经是一个阶梯矩阵。

Step2

设非零矩阵A的第j1

列是自左而右的第一个非零列，设(否则，若非零，作1

ja

„

01ija行变换r1

«ri

，总可使第j1列的第一个元非零)，得到：11a1,

j1,

j

+1a1n

A

fi

0

=

B0

0

0a

0

0

0

0A1其中A1是（m－1）x（n－j1）矩阵，对施行上面同样的步骤，如此下去，即可得梯矩阵。继续对行阶梯矩阵做行变换：每个非零行同除以该行的首非零元，就可以将该行的首非零元化为1。再利用矩阵的初等行变换(3)，将首非零元所在列的其他元素化为零，就得到最简形。推论m

·

n矩阵A经过初等行变换化成的最简梯矩阵是唯一的。0

0

1

0

-

1

0

45B例如，c3

«

c4c4

+

c1

+

c2

3

00

-01

0

3

00

00

00

00

0

0

0

0

0

0c5

-

4c1

-

3c2

+

3c3

011

00

0--3=

F00

1100003

1

0

00-01

044

=

0

1

-

1

0

3

0

0

1

-

30

0

0

00011

00矩阵

F

称为矩阵B

的标准形.特点：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为零.m

·

n

矩阵A

总可经过初等变换化为标准形rO

m·nE O

OF

=

此标准形由m,n,r三个数唯一确定，其中r

就是行阶梯形矩阵中非零行的行数.所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.022

0

4

-12

2

3

-1

-

6-1

-1

6

2

-

2

0A

=

4

02

04

0-

1

-

1

6

2-

4

124

-

12-

4

12r4

+

2r1r2

+

3r1r1

«

r3A例4

用初等行变换将矩阵A化成行阶梯矩阵和最简形。r4

+

2r1r2

+

3r1r1

«

r34

02

04

0-

1

-

1

6

2-

4

124

-

12-

4

12A-

1r1r3

+

r2r4

-

r2

=

B0001

1 -6 -2-4

12

4

0

00

06

0

-

1r1r3

+

r2r4

-

r2

=

B6

001

1

-

6

-

2-

4

12

4

0

00

0

0

0

64r3-

r20

01

0-

101

1

-

6

2

1

-

30

00

064r3-

r20

01

0-

101

1

-

6

2

1

-

30

00

0r2

+

r3r1

+

2r3r1

-

r2

=

C0001

0

-3

01 -3

00

00

010B是所求的梯矩阵，C是最简形例将下列矩阵化为标准型：3

3

1

2

3

(1)

2

2 1

4

1

2

2

1

(2)

2

1

-

2

-

2

1

-

1

-

4

-

3E0

0

1

0

0

0

0

1

0

00

0小结i

ii

j

i

j

3)r

+

kr

c

+

kc

.1.初等行(列)变换

2)r

·

k

c

·

k

);

1)ri

«

rj

ci

«

c

j

;初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．3.矩阵等价具有的性质1)反身性;

2)对称性;

3)传递性.2.

A初等变换B

A

~

B.3.以数k

乘某行（列）加到另一行（列）上去．2.以数k

„0

乘某行或某列；一、初等矩阵的概念矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.1、定义

由单位矩阵

E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.1.对调两行或两列；第二节

初等矩阵111101

1

1E(i,

j)

=

‹第i

行

1

0

‹第j

行rj

)，得初等方阵E(i,j)2、三种初等矩阵(1)对调两行或两列对调

E

中第i,

j

两行，即(ri

«mn

aain

a

jn

a

a

m1

m

2

ai1a1n

a11

a12

a

j1

a

j

2Em

(i,

j)

A

=

ai

2‹第i

行‹第j

行左乘于A,相当于对

A

施行了ri

«

rj

.mn

mimjna

a

a

a

a

m1a2n

21a1n

a1ia2ia1

ja2

j

a11AE

(i,

j)

=右乘于A,相当于对A

施行了ci

«

c

j

.111

1kE(i(k

))

=

‹第i

行(2)以数k

„0

乘某行或某列以数k

„0乘单位矩阵的第i

行(ri

·

k

),得初等矩阵E(i(k

))左乘于A,相当于对A

施行了ri

·

k,a

a

a

m1

m

2

mn

a1n

a11

a12kai

2

Em

(i(k

))A

=

kai1kain

‹第i

行类似地，右乘于A,相当于对A施行ci

·

k.mn

mina

ka

am1a2n

21a1n

ka1i

a

ka2i

a11AE

(i(k

))

=(3)以数k

„0

乘某行(列)加到另一行(列)上去得到初等矩阵以k

乘E

的第j

行加到第i

行上(ri

+krj

)或以k

乘E

的第i

列加到第j

列上(cj

+kci

)11

11

kE(ij(k

))

=

第i行‹第j行

‹E(ij(k

))以Em

(i,j(k))左乘矩阵A，jnjn

mn

ina

aaa

a

a

am2m1j

2j1j

2i

2j1i1a1n+

ka

a

+

ka

a

+

ka

a12a11Em

(i,

j(k

))

A

=

相当于对A施行了ri

+krj

.类似地，以En

(i,j(k

))右乘A,相当于对A

施行了c

j

+kci

.mnnami

kami

+

amj

aa

a

m1a2n

21a1n

ka1i

+

a1

j

ka2i

+

a2

j

a1ia2i

a11AE

(i,

j(k

))

=E(i,

j),

E(i(k

)),

E(i,

j(k

))左乘行变,右乘列变;ki

i变换

r

·

k

的逆变换为

r

·

1

，1k则

E(i(k

))-1

=

E(i(

))则变换ri

·

kr

j

的逆变换为ri

·(-k

)rj，E(ij(k

))-1

=

E(ij(-k

))

.3、初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵.4、初等矩阵均可逆，且其逆矩阵还是初等矩阵。变换

ri

«

rj

的逆变换是其本身，则

E(i,

j)-1

=

E(i,

j)

;例15

0

1

0

2

-

1

设A

=

4

-

2

5

3

,1

2求E(1,3)A,AE(1,3).解：左乘（行变换）5

0

0

1E(1,3)

A

=

0

0

0

1

1

0

2

-

11

0

4

-

2

50

1

2

-

1

1

0

1

2

5

3

=

4

-

2

5

30

234

0

1

2

5

-

2

5

1

0

2

-

15

031

1

0

2

-

1

r

«

rA

=

4

-

2

5

31

2右乘（列变换）1

0

15

0AE(1,3)

=

41

0

2-

2

51

25

0c3

1

0

2

-

1

c

«

1A

=

4

-

2

5

31

20

0=

50

1

-

1-

2

4

3

2

1

0

5

-

1

0

0

1

0

23

0

1

00

00

05

2

2

0

1

-

1

5

-

2

4

31

0二、初等矩阵的应用1kE

(i(k

))

E

(i())

=

E

,E

(i,

j(k

))

E

(i,

j(-k

))

=

E.定理1

设A是一个m

·

n矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于在A的左边乘以一个相应的m阶初等矩阵,对A施行一次初等列变换

,相当于在

A的右边乘以一个相应的

n阶初等矩阵

.1、由定理1，可知：E

(i,

j)E

(i,

j)

=

E

,2、定理2

方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵

P1,

P2

,,

Pl

,使A

=

P1

P2

Pl

.证(充分性)设存在初等矩阵P1

,P2

,,Pl

,使A

=P1

P2

Pl

.A

可逆.

初等矩阵可逆,\rE O

O O

n(必要性)设A

可逆,且设A

的标准形为F

=则F

~

A

,即F

经有限次初等变换可变为A

,即存在有限个初等方阵P1

,P2

,,Pl

,使P1

P2

Pr

FPr

+1

Pl

=

A

A,P1

,P2

,,Pl

均可逆,\F

可逆,\即F

=E

,r

=

n

,\

A

=

P1

P2

Pr

EPr

+1

Pl

=

P1

P2

Pl

.r3、推论1

方阵A可逆的充分必要条件是E

~

A

.证A

可逆的充要条件是存在有限个初等方阵P1

,P2

,,Pl

,使A

=P1

P2

Pl

.

即A

=P1

P2

Pl

E

.即E

可经有限次初等行变换化为A

.r即E

~

A

.c推论

1

方阵A可逆的充分必要条件是

E

~

A

.4、推论2

m

·

n

矩阵

A

~

B

的充要条件是存在

m

阶可逆方阵

P

及

n

阶可逆方阵

Q,使

PAQ

=

B.5、利用初等行变换求逆阵的方法：当A

„0时，由A

=P1

P2

Pl，有P

-1

P

-1

P

-1

E

=

A-1

,l l

-1

1P

-1

P

-1

P

-1

A

=E

,及l l

-1

1

l l

-1

1=

P

-1

P

-1

P

-1

A

,

P

-1

P

-1

P

-1

E(A

,

E

)1-1l l

-11-1

-1l l

-1\

PP

P=

E

,

A-1即对n

·

2n

矩阵(A

,E

)施行初等行变换,当把A

变成E

时,原来的E

就变成A-1

.(A

,E

)

初等行变换fi

(E

,A-1

).例2102

3

1

0

00

-2

-5

-2

1

0-2

-6

-3

0解

(

1设

A

=

2

322431

,求A-1

.3

123100A

E)=

2

2

1

3

4

30010011

2r

-

2r

113r

-

3r1010-2-1100-2-5-210r1

+

r2r3

-

r21

0

-1

-1

-10-50-20-1-1-10013-20361r1

-

2r3r2

-

5r312310000-2-2-5-6-2-31001r2

-

2r1r3

-

3r11

0

-1

-1

-10-50

3

60

-21

0

0

1

3

-2r1

-

2r3r2

-

5r335

1-

1

-1

1

3

-

2\

A

=

-

2

-

3

2

.1

02

5

1

0

0

1

3

-

21

0

-

3

-

32

0

1

1

1

-

12r

‚（-

2）3r

‚（-

1）

0E

A-1

(

A

B)

=

(

E

A-1B)A-1B即(

A

B)初等行变换6

利用初等行变换求逆阵的方法

,

还可用于求矩阵

A-1

B

.例33

4

3

3

1

2

52

3

2 1

,

B

=

3 1

.4A

=

2求矩阵

X

,使

AX

=

B，其中解若

A

可逆，则

X

=

A-1B.3

31

1

2

3

2

52

1

34

3

4(

A

B)

=

2

0

1

2

3

2

5

0

-

2

-

5

-

1

-

9

-

2

-

6

-

2

-

12-

3

0

1

0

-

2

1

-

4

0

-

2

-

5

-

1

-

90

-

1

-

1-

3

0

1

0

0

3

2

0

-

2

0

4

6

0

-

1

-

1r2

-

2r1r3

-

3r1r1

+

r2r3

-

r2r1

-

2r3r2

-

5r33

0-

3，0

0

3

2

1

0

-

20

1

1

1

3

3

2

\

X

=

-

2

-

3.r2

‚（-

2）

13r

‚（-

1）

0

0

00032

-

2046

0-

1-

1-

3

1r1

-

2r3r2

-

5r37、还可利用初等列变换求逆阵：

A-1

E

A

E

.列变换作初等列变换，

-1

C

A=CA

,则可对矩阵8、如果要求Y,

CA-1

E

C

A列变换即可得

Y

=

CA-1

.也可改为对(AT

,CT

)作初等行变换，（AT

,

CT

) (

E

,

(

AT

)-1

CT

),行变换即可得

YT

=

(

A-1

)T

CT

=

(

AT

)-1

CT

,

即可求得

Y

.三、小结初等矩阵.一次初等变换1.单位矩阵-1

A

E

变换,将A

化为单位阵E

后,E

对应部分即为A-1

.后,

右边

E

对应部分即为

A

(或对

施行初等列2.

利用初等变换求逆阵的步骤是:构造矩阵(A,E

)或

A

;

E

对(A

,E

)施行初等行变换,将A

化为单位矩阵

E定义1在m

·

n

矩阵A

中任取k

行k

列（k

£

m,第三节

矩阵的秩一、矩阵的k阶子式的概念k

£

n），位于这些行列交叉处的k

2

个元素,不改变它们在A

中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A

的k

阶子式.m

·

n

矩阵

A

的

k

阶子式共有

Ck

Ck

个.m

n定义4定义5

m

·

n

矩阵

A

中不等于零的最高阶非零子式的阶数称为矩阵A的秩,

记作R(

A).易知:(1)R(

A)

£

min(m,

n)(2)若矩阵A有一个r阶子式不等于零,则R(A)‡r(3)若矩阵A的所有r

+1阶子式全为零,则R(A)£

r(4)规定零矩阵的秩为0二、矩阵的秩的概念(5)

满秩矩阵,降秩矩阵对n阶方阵A

=

(aij

),

若|

aij

|„

0,则R(

A)

=

n,

称A为满秩矩阵;若|

aij

|=

0,则R(

A)

<

n,

称A为降秩矩阵.任何矩阵Am

·n

,总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的.例11

2

1

2

3

求矩阵

A

=

1

2

3

的秩.3解2

3在A

中，12„

0.又

A的3

阶子式只有一个A，且A

=0，\

R(

A)

=

2.例205

的秩.0

0

0

0

0

20

0

4

-

33

1

-

2-

1

0

3

-

2求矩阵B

=

0解

B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，\

B

的所有4

阶子式全为零.2

-

1

3而

0

3

-

2

„

0,0

0

4\

R(B)

=

3.行阶梯形矩阵的秩=非零行的行数例353，求该矩阵的秩．2

-

1

-

2

0

1

1

3

-

2

2已知

A

=

0

1 3

=

2

„

0,0

2解计算A的3阶子式，3

=

0,3

==

20,3

-

2

2

1

-

2

2-

1 3

==

00,

-

10

1

5

-

2

1

51

3

-

2

1

3

20

2

-

1

=

00,

2-

2

0

1

-

2

0

5=

0.\

R

A)=

2.53

做初等变换，

1

3

-

2

22

-

1

-

2

0

1对矩阵

A

=

0另解0

0

03

fi

03,\

5

00

1

3

-2

2

1

3

-2

22

-1

2

-1

-2

0

1

显然，非零行的行数为2，\

R

A)=

2.此方法简单！三、求矩阵秩的初等变换法因为对于任何矩阵Am·n

,总可经过有限次初等行变换把他变为行阶梯形.问题：经过初等变换，两个矩阵的秩是否相同？定理2

初等变换不改变矩阵的秩。初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4秩，并求A

的一个最高阶非零子式．4

2

-1

,求矩阵A

的

3

2

0

5

0

-

2

3

6

0

1

5

-

31

6

-

4

-

1设A

=

3对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：解

2-

2

3

6

-

1

0

1

5

-

31

6

-

4

-

1

42

0

5

0

3A

=

3

0

1

5

-

33

2

0

5

0

2-

14

16-

4-

13-

23641r

«

r4

2-

2

3

6

-

1

0

1

5

-

31

6

-

4

-

1

3

2

0

5

0

A

=

3

2

0

-

4

3

1

-

1

0

1

5

-

33

2

0

5

06

-

4

-

1

4

141r2

-

r4r

«

r-

11

-

12

9

7

0

-

16

12

8

-

12

0

0

-

4

3

1

-

1

1

6

-

4

-

1

4

2

3

2

0

5

0

-

2

3

6

-

1

0

1

5

-

31

6

-

4

-

1

4A

=

3r1

«

r4r4

-

3r1r2

-

r4r3

-

2r1

1

6

-

4

-

1

4

0

-

4

3

1

-

1

0

0

4

-

80

0

0

0

0

0

0

0000044-

8-

8

16-

4-

14

0-

431-

1由阶梯形矩阵有三个非零行可知R(

A)

=

3.r3

-

3r2r4

-

4r2r4

-

r3求A

的一个最高阶非零子式.

R(

A)

=

3,知A的最高阶非零子式为3阶.A

的

3

阶子式共有

C

3

•C

3

=

40

个.4

5考察A的行阶梯形矩阵，记A

=(a1

,a2

,a3

,a4

,a5

),则矩阵A1

=(a1

,a2

,a4

)的行阶梯形矩阵为4

0

1

6

-

1

0

-

4

1

0

0

0

0

0

1

6

-

4

-

1

4

0

-

4

3

1

-

1

0

0

4

-

80

0

0

0

0A

~

3

2

53

-

22

0

56

0

116

=

3

-

2

62

0

56

112

5=

-2=

-16

„

0.这个子式也是A

的一个最高阶非零子式.

R(

A1

)

=

3,\A1

中必有3

阶非零子式.计算A1的前三行构成的子式=

25

0

6

-

15

-

3-

1

4031-

4

3

23

-

2

01

6A1

=

(a1

,a2

,a4

)

xx

x1

1

x

x

x

1

x

求n阶方阵A

=

x

x

1

x

xx

的秩.例5解:初等行变换.例6

4

1

3

3

1

-

2

2

-

1-

4

8

-

2

4

-

2

3

-

6

0

-

60

,b

=

2设A

=

2求矩阵

A

及矩阵

B

=

(

A

b

)的秩

.~

~(

A,b

),分析：设B

的行阶梯形矩阵为B~

=A

就是A

的行阶梯形矩阵，则~~

~故从B~

=(A,b

)中可同时看出R(A)及R(B).3

1

-

2

2

-

1 1

-

4

8

0

2

-

2

4

-

2

3

3

-

6

0

-

6

4B

=

215

0

1

-

2

2

-

1

1

0

0

4

2

0

0

2

10

0

-

6

-

3r2

-

2r1r3

+

2r1r4

-

3r1解：1

0

1-

22-

11

0021015000000

0

1-

22-

11

00210r2

‚

2r3

-

r2r4

+

3r2

03r

‚

5r4

-

r30

0

0

0

0

0

0

0R(B)

=

3.\

R(

A)

=

2,以B

=(A,b)为增广矩阵的线性方程组无解.?三、矩阵秩的一些结论A

„

0

An

@

EnR(A)

=

n21

n阶方阵A可逆A不可逆

A

=

0

R(

A)

<

n34Am·n

，Pm

，Qn均为满秩矩阵,则有R(

PAQ)

=

R(

PA)

=

R(

AQ)

=

R(

A)max(R(

A),

R(B))

£

R(

A,

B)

£

R(

A)

+

R(B)特别地：当B

=b

为列向量时,有：R(

A)

£

R(

A,b)

£

R(

A)

+

1R(

A

+

B)

£

R(

A)

+

R(B)5

Sylverster不等式:

对矩阵

Am·n

,

Bn·l

有R(

A)

+

R(B)

-

n

£

R(

AB)

£

min(

R(

A),

R(B))特别地：当AB

=O

时,有：R(A)+R(B)£

n6nA

为n

阶方阵,R(A)

=r

,A*为A

的伴随矩阵,*n R(

A)

=

n

R(

A)

=

n

-

1R(

A)

£

n

-

2则有

R(

A

)

=

10矩阵秩的概念求矩阵秩的方法(1)利用定义寻找矩阵的最高非零子式，其阶数即为秩.(2)初等变换法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.四、小结矩阵的秩与线性方程组的解之间的关系第四节

线性方程组解的判定定理3

n

元线性方程组(2.1)

Am·n

x

=

b解的情况如下:(1)有解的充要条件是R(

A)

=

R(B).(2)有唯一解的充要条件是R(A)=R(B)=n.(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(B)<n.说明R(A)=R(B)=nAx

=b有唯一解Ax

=b有无穷多解.R(A)=

R(B)<

n定义:方程组的含有n

-r个独立参数的解称为方程组的通解．(r

=R(A)).求解齐次线性方程组步骤：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；求非齐次线性方程组步骤：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；1

2

3

4x1

-

x2

-

4

x3

-

3

x4

=

0

2

x

+

x

-

2

x

-

2

x

=

0

.例1

求解齐次线性方程组

x1

+

2

x2

+

2

x3

+

x4

=

0解对系数矩阵A

施行初等行变换化为最简形：一、线性方程组的解法-311

2

2 1

A=2

1

-2

-2-1

-4r3

-

r1r2

-

2r1-401

2

2 1

0

-3

-6

-4-3

-6341

2

2

10

1

20

0

0

0r2

‚

(-3)r3

-

r21

2r

-

2r

0

04

3

0

0

1

203-51

0

-2即得与原方程组同解的方程组34341

3x2

+

2x3

+

x4

=

0,

x

-2x

-

5

x

=

0,352

1