数学归纳法“十校联赛”一等奖

2.3数学归纳法问题1:袋中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

问题2:完全归纳法

不完全归纳法

…问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。问题情境一

：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法结论一定可靠结论不一定可靠考察全体对象,得到一般结论的推理方法考察部分对象,得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法归纳法思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？思考1:某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？（1）始祖姓王；

（2）子随父姓.

（第1代姓王）（如果第k代姓王，则第k+1代也姓王）创设情境7思考2？有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？(条件是什么）创设情境⑴第一块骨牌倒下；⑵任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下☞两个条件的作用：条件⑴：奠基；条件⑵：递推关系8例题1例题1：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an/(an+1),

用数学归纳法证明：对所有的正整数n,有an=1/na1=1成立假设ak=1/k成立,若证出ak+1=1/(k+1)成立命题an=1/n成立…………….第1张骨牌倒下…………….假设第k张骨牌倒下保证第k+1张倒下第n张骨牌倒下骨牌倒下命题成立类比

数学建构

对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：证明当n取第一个值n0时命题成立；2.假设当n=k(k≥n0,kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.数学归纳法这种证明方法就叫做______________.那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立,注意：第二步是个命题，前面是条件，后面是结论。第二步我们就是证明这个命题是正确的。证明：（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝

等式成立。

例题2：用数学归纳法证明（2）假设当n=k时，等式成立，即那么：

左边=12+22+……+k2+(k+1)2右边

即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知命题对任何n∈N＊都成立。数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间的变化。例3

用数学归纳法证明：

证明（1）当n=1时，等式左边等式右边所以等式成立.

（2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，那么当n=k+1时，即n=k+1时等式成立.由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立.练习1．用数学归纳法证明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是(

)A．1

B．1＋3C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]

C[解析]

当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋3.故应选C.[答案]

D[解析]

∵1＋12＋14＋…＋127－1＝1－èçæø÷ö1271－12＝2－126＝27－126＝12764

而1＋12＋14＋…＋128－1>12764，故应选B.

[答案]

B思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设n＝k时成立，即这就是说，n＝k+1时也成立2+4+6+…+2k＝k2+k+1则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式对任何n∈N*都成立事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3左边≠右边，等式不成立该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早2.3数学归纳法下面是某同学用数学归纳法证明命题

的过程.你认为他的证法正确吗?为什么?

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,

左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

思考2证明：①当n=1时，左边＝右边＝②假设n=k时，等式成立，那么n=k+1时等式成立这就是说，当n=k+1时，等式也成立根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立即第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求思考3：下面是某同学用数学归纳法证明等式成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（n∈N＊）nn2112121212132-=＋＋＋＋L反思：1、因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。2、第二步是个命题，前面是条件后面是结论。我们只需证明这个命题是正确的就行。3、当n=1时成立，假设当n=k时成立，那推出当n=k+2时也成立，请问这个命题对哪些自然数成立？如果推出当n=k+3时也成立，那请问这个命题对哪些自然数成立？答：对正奇数成立。对自然数1、4、7、11、……。成立。(2)假设n=k时,11k+2+122k+1能被133整除,=1111k+2+122122k+1=11(11k+2+122k+1)11122k+1+122122k+1=1111(11k+2+122k+1)+122k+1(14411)=11(11k+2+122k+1)+122k+1133.例3.证明:对任意正整数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.证明:(1)当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=23133,∴23133能被133整除,即n=1时命题成立.那么11(k+1)+2+122(k+1)+1(3)整除性问题由归纳假设知