广东省汕头市广东第二师范学院龙湖附属中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省汕头市广东第二师范学院龙湖附属中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的反函数是（

）A．

B.C．

D.参考答案：D2.有两排座位，前排4个座位，后排5个座位，现安排2人就坐，并且这2人不相邻（一前一后也视为不相邻），那么不同坐法的种数是A．18

B．26

C．29

D．58参考答案：答案：D3.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（

）A． B．C． D．与关系不确定参考答案：C，内切圆与x轴的切点是A，∵，由圆切线长定理有，设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，∴，即A为右顶点，在中，由条件有，在中，有，∴.

4.执行如图的程序框图，若输出的n=5，则输入整数p的最大值是（）A．15 B．14 C．7 D．6参考答案：A【考点】程序框图．【专题】图表型．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的n值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环

S

n循环前/0

1第一圈

是

1

2第二圈

是

3

3第三圈

是

7

4第四圈

是

15

5第五圈

是

31

6第六圈

否故S=15时，满足条件S＜pS=31时，不满足条件S＜p故p的最大值15．故选A．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5.设纯虚数z满足，则实数等于（

）A．1

B．-1

C．2

D.-2参考答案：B6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足且，若，则(

)A.2 B.

C. D.参考答案：D7.已知，给出下列三个判断:(1)函数的最小正周期为;(2)函数在区间内是增函数;(3)函数关于点对称.以上三个判断中正确的个数为A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：D8.在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”.下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0

②等差数列一定是等差比数列

③等比数列一定是等差比数列

④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是

（

）A．①

B．①②③

C．③④

D．①④参考答案：D9.已知是定义域为(－∞,+∞)的奇函数,满足.若，则（

）A.1 B.0 C.2 D.50参考答案：C分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．10.点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和他们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为

．参考答案：3:1:2略12.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为

．参考答案：7略13.在总体为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的可能性为25%,则N的值为__________参考答案：12014.已知平面向量，满足|β|=1，且与﹣的夹角为120°，则的模的取值范围为．参考答案：（0，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=，=，得到∠ABC=60°由正弦定理得：||=sinC≤，从而求出其范围即可．【解答】解：设=，=如图所示：则由=﹣，又∵与﹣的夹角为120°∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得：||=sinC≤，∴||∈（0，]故答案为：（0，]．15.已知，则的夹角为

.参考答案：

16.若任意，则，就称A是“和谐”集合，则在集合的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是

．参考答案：略17.设是单位向量，且的最大值为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t?f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．参考答案：【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数恒成立问题，其中在解答抽象函数的关键是“凑”，如（1）中令m=n=0，（2）中令m=n，（3）中令m=2n=2x．19.（10分）（1）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．求椭圆C的方程；（2）已知⊙A1：（x+2）2+y2=12和点A2（2，0），求过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，列出方程组求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）判断P点的轨迹为以A1，A2为焦点的双曲线，求出a，b，即可得到双曲线方程．【解答】解：（1）由题意得，解得a=4，b=2，c=2…（3分）故椭圆C的A1方程为．

…（2）⊙A1：（x+2）2+y2=12和点A2（2，0），过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P满足：||PA1|﹣|PA2||=…（7分）故P点的轨迹为以A1，A2为焦点的双曲线

…（8分）…（9分）圆心P的轨迹方程为：

…（10分）【点评】本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．20.某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．参考答案：【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）求出各组的频率，划痕处频率分布直方图，再比较即可，（Ⅱ）先求出评分是80分以上的人数，再分别求得评分落在区间[80，90）、[90，100]上的人数，即可求得2名用户评分都小于90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取2人，则[80，90）分数段抽取4人，分别记为A，B，C，D，[90，100]分数段抽取1人，记为E，M．

则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．2名用户评分都小于90分的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6种．故2名用户评分都小于90分的概率P==21.某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：

2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）15001400190016002100发电量y（亿千瓦时）7.47.09.27.910.0（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？参考答案：考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．解答： 解：（I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9.2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（II）∵，．又直线过点，∴，解得，∴．当x=1800时，，所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．22.如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？参考答案：【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】应用题；数形结合；分析法；解三角形．【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，由余弦定理即可得解．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=s