湖南省邵阳市皇帝岭中学高三数学理测试题含解析

湖南省邵阳市皇帝岭中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={x|lgx＞0}，B={x|2＜2x＜8}，则（）A．A=BB．A?BC．A?BD．A∩B=?参考答案：C【分析】先根据函数的单调性分别解对数不等式和指数不等式，将集合A、B化简，再根据集合的关系可得本题的答案．【解答】解：对于集合A，lgx＞0得x＞1，所以A={x|x＞1}，而集合B，解不等式2＜2x＜8，得1＜x＜3，∴B={x|1＜x＜3}，∴A?B．故选：C．【点评】本题给出含有指数和对数的不等式构成的集合，求集合的关系，着重考查了指、对数不等式的解法和集合的关系等知识，属于基础题．2.（理）设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为．A．150 B．－150 C．300

D．－300参考答案：A3.直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A4.“”是“”

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B略5.已知集合，则集合的真子集的个数是（

）A．32

B．31

C．15

D．16参考答案：C6.在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B7.若全集，集合，，则A．{2}

B．{1，2}

C．{1，2，4}

D．{1，3，4，5}参考答案：C8.函数为奇函数，且在上为减函数的值可以是A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作S.在一次投掷中，已知S是奇数，则S=9的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B故选：B

10.已知函数则（

）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是等比数列的前项和，若，则

参考答案：1。由已知得，解得，所以，，从而。12.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有

种。参考答案：18013.设向量，不平行，向量λ+与+2平行，则实数λ=．参考答案：考点： 平行向量与共线向量．

专题： 平面向量及应用．分析： 利用向量平行即共线的条件，得到向量λ+与+2之间的关系，利用向量相等解答．解答： 解：因为向量，不平行，向量λ+与+2平行，所以λ+=μ（+2），所以，解得；故答案为：．点评： 本题考查了向量关系的充要条件：如果两个非0向量共线，那么存在唯一的参数λ，使得14.变量，满足条件，求的最大值为

．参考答案：略15.设x，y满足约束条件,则的最小值为

．参考答案：-2根据约束条件画出相应的可行域，可知其为一个封闭的三角形区域，由，可得，根据的几何意义，可以确定其在直线和直线的交点处取得最小值，由解得，代入求得，从而确定出最小值为.

16.直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是

．参考答案：17.若x，y满足约束条件，则的取值范围为________．参考答案：【分析】作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，则，故z的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，且x=为f（x）图象的一条对称轴．（1）求ω和φ的值；（2）设函数g（x）=f（x）+f（x﹣），求g（x）的单调递减区间．参考答案：【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【分析】（1）根据函数f（x）的最小正周期求出ω的值，再根据f（x）图象的对称轴求出φ的值；（2）根据f（x）的解析式写出g（x），利用三角恒等变换化g（x）为正弦型函数，再求出它的单调递减区间．【解答】解：（1）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的最小正周期为π，∴T==π，∴ω=2；又x=为f（x）图象的一条对称轴，∴2x+φ=kπ+，k∈Z，∴f（x）图象的对称轴是x=+﹣，k∈Z；由=+﹣，解得φ=kπ+，又|φ|≤，∴φ=；（2）∵f（x）=sin（2x+），∴g（x）=f（x）+f（x﹣）=sin（2x+）+sin2x=sin2x+cos2x+sin2x=sin（2x+），令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[+kπ，+kπ]，k∈Z．19.(本小题满分13分)（Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)=

，并加以证明；（Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)=

。参考答案：解：（Ⅰ）两角差的余弦公式

……1分在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量,记两向量的夹角为，则

…4分(1)如果,那么，∴∴

……6分(2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以有同样有

…………8分（Ⅱ），

…………9分证明如下：把公式中的换成，得

………………13分20.（2016?兴安盟一模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥+1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+?a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立?|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立?a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．【点评】本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决．21.（本小题满分12分）如图1，直角梯形中，，分别为边和上的点，且，．将四边形沿折起成如图2的位置，使．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值.参考答案：（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以的中点坐标为因为，所以

易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为由令则，，22.已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：32404（Ⅰ）求的标准方程；（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）设抛物线，则有，据此验证个点知（3，）、（4，4）在抛物线上，易求

………………2分

设：，把点（2，0）（，）代入得：

解得∴方程为

…………………5分（Ⅱ）法一：假设存在这样的直线过抛物线焦点，设直线的方程为两交点坐标为，

由消去，得…………7分

∴

①

②

………9分

由，即，得将①②代入（*）式，得，解得

…11分所以假设成立，即存在直线满足条件，且的方程为