山西省太原市第六十二中学高三数学理联考试卷含解析

山西省太原市第六十二中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若锐角满足，则的值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B2.(

)A.i B.－i C.0 D.1参考答案：B【分析】利用复数的除法运算，即得解.【详解】化简：故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.3.若角的终边在直线上，且，则和的值分别为A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】同角三角函数间的基本关系．C2【答案解析】D

解析：∵角α的终边在直线y=﹣2x上，且sinα＞0，∴α为第二象限角，则tanα=﹣2，cosα=﹣=﹣．故选：D．【思路点拨】由角α的终边在直线y=﹣2x上，且sinα＞0，得到α为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和tana的值即可．4.若函数，则的最大值为（）A．1

B．2

C．D．参考答案：C5.已知向量、满足，且，，则向量、的关系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角参考答案：C【分析】设向量与的夹角为，根据平面向量数量积的运算求出的值，进而可得出结论.【详解】设向量与的夹角为，则，即，得，，.因此，向量、方向相反.故选：C.【点睛】本题考查两向量位置关系的判断，根据向量的数量积求出两向量的夹角是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.6.在△ABC中，，．若点D满足，则=(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：向量加减混合运算及其几何意义．分析：把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．解答： 解：∵由，∴，∴．故选A点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的7.cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．8.若点（a，4）在函数y=2x的图象上，则tan的值为(

)A．0 B． C．1 D．参考答案：D【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意得2a=4，解得a=2，由此能求出．【解答】解：由题意得2a=4，解得a=2，∴=tan=．故选：D．【点评】本题考查角的正切值的求法，是基础题，解题时要注意幂函数的性质的合理运用．9.等差数列的前n项和为=

(

)A．18

B．20

C．21

D．22参考答案：B10.如图，已知椭圆C1：+y2=1，曲线C2：y=x2﹣1与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于A，B两点，直线MA，MB分别与C1相交于D，E两点，则的值是（）A．正数 B．0 C．负数 D．皆有可能参考答案：B【分析】由题意设出A，B的坐标，再设出过原点的直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得，再结合，得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），过原点的直线l：y=tx，联立，得x2﹣tx﹣1=0．则x1+x2=t，x1x2=﹣1．∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=（t2+1）x1x2+t（x1+x2）+1=﹣（t2+1）+t2+1=0．而，，∴=．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为_______参考答案：212.某单位安排5个人在六天中值班，每天1人，每人至少值班1天，共有

种不同值班方案.（用数字作答）参考答案：1800

13.对于二次函数，有下列命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中一定正确的命题是______________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：②③14.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．在极坐标系中，的方程为，则与的交点的个数为_____________.参考答案：115.已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在某球面上，PC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积．参考答案：【考点】球的体积和表面积．【分析】根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高PD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．【解答】解：根据题意作出图形设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是边长为4正三角形，∴S△ABC==4∴V三棱锥P﹣ABC=×4×2=，∴r2=．则球O的表面积为4πr2=．故答案为．16.已知

.参考答案：

17.已知，则函数的最小值为________________．参考答案：3

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分15分）已知抛物线().抛物线上的点到焦点的距离为2(1)求抛物线的方程和的值；(2)如图，是抛物线上的一点，过作圆的两条切线交轴于两点，若的面积为,求点坐标.参考答案：（Ⅰ）由抛物线定义易得抛物线方程为…5分(2)设点,当切线斜率不存在,,设切线,圆心到切线距离为半径1,不符合题意同理当切线斜率不存在,,当切线,斜率都存在.即,设切线方程为：圆心到切线距离为半径1,即,两边平方整理得:韦达定理得:则切线,切线,得……15分19.已知四边形ABCD为平行四边形，点A的坐标为（﹣1，2），点C在第二象限，的夹角为=2．（I）求点D的坐标；（II）当m为何值时，垂直．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；数学模型法；平面向量及应用．【分析】（I）设C（x，y），D（m，n）．=（x+1，y﹣2），利用向量夹角公式可得（x+1）2+（y﹣2）2=1．①又=2（x+1）+2（y﹣2）=2，联立解出C坐标．又，可得（m+1，n﹣3）=（﹣2，2），解得m，n．（II）由（I）可知：=（0，1），由于垂直．可得（=0，解出即可．【解答】解：（I）设C（x，y），D（m，n）．=（x+1，y﹣2），∵与的夹角为=2．∴==，化为（x+1）2+（y﹣2）2=1．①又=2（x+1）+2（y﹣2）=2，化为x+y=2．②联立①②解得或．又点C在第二象限，∴C（﹣1，3）．又，∴（m+1，n﹣3）=（﹣2，2），解得m=﹣3，n=1．∴D（﹣3，1）．（II）由（I）可知：=（0，1），∴=（2m，2m+1），=﹣=（﹣2，﹣1）．∵垂直．∴（=﹣4m﹣（2m+1）=0，解得m=．【点评】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因为，所以，，令，则，所以在上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.21.（本小题满分12分）对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数．（Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值．参考答案：解：（Ⅰ）对于函数，当时，．当或时，恒成立，故是“平底型”函数．

…2分对于函数，当时，；当时，,所以不存在闭区间，使当时，恒成立．故不是“平底型”函数．

…4分（Ⅱ）若对一切R恒成立，则．因为，所以．又，则．

因为，则，解得．故实数的范围是．

…7分（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则存在区间和常数，使得恒成立．所以恒成立，即．解得或．

…9分当时，．当时，，当时，恒成立．此时，是区间上的“平底型”函数．

当时，．当时，，当时，．此时，不是区间上的“平底型”函数．