(完整版)高一数学函数的概念及表示方法

(完整版)高一数学函数的概念及表示方法

ComprehensiveTutoringOperationSystem姓名：教学内容：函数与映射的概念及其函数的表示法教学目标：理解函数的概念；掌握区间、无穷大的概念，定义域的求法，映射的概念；能够求解分式函数、根式函数的定义域；掌握求函数解析式的思想方法；了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象；结合简单的图示，了解一一映射的概念。教学重点：理解函数的概念，区间、无穷大的概念，定义域的求法，映射的概念。教学难点：函数的概念，无穷大的概念，定义域的求法，映射的概念。一、函数的概念引入：初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？对于设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。初中已经学过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。问题1：y=1（x∈R）是函数吗？问题2：y=x与y=√x是同一函数吗？二、讲解新课（一）函数的有关概念设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f(x)，x∈A。其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=f(x)的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。（二）区间的概念区间是指由两个实数a、b（a<b）所确定的数集{x|x∈R，a≤x≤b}，记为[a,b]。开区间(a,b)表示{x|x∈R，a<x<b}，左闭右开区间[a,b)表示{x|x∈R，a≤x<b}，右闭左开区间(a,b]表示{x|x∈R，a<x≤b}。（三）无穷大的概念正无穷大：对于任意正实数M，总存在实数N，使得当x>N时，有f(x)>M。负无穷大：对于任意负实数M，总存在实数N，使得当x>N时，有f(x)<M。无穷大：正无穷大和负无穷大的统称。（四）函数的图象函数的图象是指由函数y=f(x)在直角坐标系上所有点的集合。函数的图象在直角坐标系上的表现形式是一条曲线，曲线上的每个点(x,y)都满足y=f(x)。在同一直角坐标系中，若有两个函数y=f1(x)和y=f2(x)，则它们的图象在同一坐标系中是两条不同的曲线。（五）映射的概念映射是指集合A中每个元素x对应集合B中唯一的元素y，用f(x)=y表示。集合A叫做定义域，集合B叫做值域。如果y=f(x)，则称y是x的象，x是y的原象。如果对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的y与它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的映射。（六）一一映射的概念如果映射f:A→B中，对于任意y∈B，都只有唯一的x∈A，使得f(x)=y，则称f为从集合A到集合B的一一映射。一一映射也称为双射。函数的三要素包括定义域、值域和定义域到值域的对应法则。对应法则是函数的核心，它规定了x和y之间的某种关系。定义域是函数的重要组成部分，对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数。一旦确定了定义域和对应法则，值域就随之确定。我们已经学习了函数的概念，现在我们来学习区间的概念和记号。在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号。设a,b为实数且a<b，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)和(a，b]。这里的实数a和b叫做相应区间的端点。在数轴上，这些区间都可以用一条以a和b为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。求函数定义域的基本方法是写出使函数解析式有意义的所有实数组成的集合。根据函数的定义，所谓“给定一个函数”，就应该指明这个函数的定义域和对应法则，不指明这两点是不能算给定了一个函数的。用解析式表示函数时，我们约定：如果不单独指出函数的定义域是什么集合，那么函数的定义域就是能使这个式子有意义的所有实数x的集合。有这个约定，我们在用解析式给出函数的对应法则的同时也就给定了定义域，而求函数的定义域就是在这个意义之下写出使式子有意义的所有实数组成的集合。3.分段函数是指在函数的定义域内，对于不同的自变量x取值范围，对应的函数规则不同的函数。虽然这样的函数看起来像是多个函数，但实际上它只是一个函数。4.复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。例如，设f(x)=2x-3，g(x)=x^2+2，则f[g(x)]=2(x^2+2)-3=2x^2+1（或g[f(x)]=(2x-3)^2+2=4x^2-12x+11）就是一个复合函数。讲解范例：例1：已知f(x)=π(x≥1)，求f[f[f(-1)]]。例2：已知f(x)=x^2-1，g(x)=x+1，求f[g(x)]。例3：求下列函数的定义域：①f(x)=3/(4-x)；②f(x)=1/(1+x^2)；③f(x)=2/(3x+7)；④f(x)=√(x-1)/(x+1)；⑤y=(x-2)/(x^2-3x)。例4：若函数y=ax^2-ax+4的定义域是R，求实数a的取值范围。例5：已知函数y=f(x)的定义域为[-1,1]，求函数y=f(x+1)·f(x-1)的定义域。在求解函数的解析式时，常见的情况有以下几种：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合；④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题。练习：1.设f(x)的定义域是[-3,2]，求函数f(x-2)的定义域。2.已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1，求f(x)的解析式。3.若f(x+1)=x+2x，求函数f(x)。1.已知函数f(x)=x^2-x+3，求f(x+1)和f(1)。解：f(x+1)=(x+1)^2-(x+1)+3=x^2+2x+3，f(1)=1^2-1+3=3。2.已知函数f(x)=4x+3，g(x)=x^2，求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]。解：f[f(x)]=f(4x+3)=4(4x+3)+3=16x+15，f[g(x)]=f(x^2)=4(x^2)+3=4x^2+3，g[f(x)]=g(4x+3)=(4x+3)^2=16x^2+24x+9，g[g(x)]=g(x^2)=(x^2)^2=x^4。3.若f(x)=x/(1-x)，求f(x+1)。解：f(x+1)=(x+1)/(1-(x+1))=-(x+1)/x。三、函数-映射内容分析：本节是在集合、简易逻辑和函数的概念之后学习的。映射概念本身就属于集合的知识。因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节。映射是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念。映射中涉及的“原象的集合A”、“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛地理解为集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等。本章主要是指数的集合。随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解。例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子。映射是现代数学的一个基本概念。教学过程：一、复习引入：在初中我们已学过一些对应的例子：①看电影时，电影票与座位之间存在一一对应的关系。②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与之相对应。③坐标平面内任意一点A都有唯一的有序数对(x,y)和它对应。④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与之相对应。⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应。函数的概念：本节我们将学习一种特殊的对应——映射。二、讲解新课：看下面的例子：设A、B分别是两个集合，为简明起见，设A、B分别是两个有限集。A：{1,4,9}，B：{1,2,3}，求平方。B：{1,2,3,4,5,6}，A：{1,2,3}，乘以2。A：{1,-1,2,-2,3,-3}，B：{1}，求开平方。A：{30,45,60,90}，B：{0,1}，求正弦。这四个对应的共同特点是：对于左边集合A中的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应。映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射。记作：f:A→B。象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b存在对应关系，则称元素a在映射下的象为b，元素b在映射下的原象为a。随着学习的深入，可以逐渐加深对映射概念的理解。映射是现代数学的一个基本概念。1.设定集合A为大于2的自然数，集合B为自然数。函数f的定义域为集合A，值域为集合B，其中f(x)为小于x的最大质数。2.给定集合A为自然数集合，集合B为{0,1}。函数f的定义域为集合A，值域为集合B，其中f(x)为x除以2的余数。3.给定集合A为整数集合，集合B为正整数集合。函数f的定义域为集合A，值域为集合B，其中f(x)为x的绝对值。4.设定集合A为{0,1,2,4}，集合B为{0,1,4,9,64}。函数f的定义域为集合A，值域为集合B，其中f(a→b)=(a-1)²。5.在从集合A到集合B的映射中，选项A正确，选项B错误，选项C正确，选项D错误。6.选项A正确，选项B错误，选项C错误，选项D正确。7.给定集合A为自然数集合，集合B为{m|m=2n-1,n∈N}。函数f的定义域为集合A，值域为集合B，其中f(x)=(2n+1)/(2x-1)。求f作用下，元素5和6的原象和象分别为9/11和11/13。2.函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目是几个？答案：1个或2个。解析：函数y=f(x)的图象与直线x=1的公共点数目，即为求解方程f(x)=y与x=1的交点个数。因为直线x=1与x轴垂直，所以当f(1)存在时，交点个数为1个；当f(1)不存在时，需要判断f(x)在x=1的左右极限是否相等，相等则交点个数为1个，不相等则交点个数为2个。3.已知函数f(x)如下，若f(x)=3，则x的值是多少？f(x)={x+2(x≤-1);x^2(-1<x<2);2x(x≥2)}答案：x=√3或x=-√3。解析：当f(x)=3时，需要分别解方程x+2=3、x^2=3、2x=3，得到x=-1、√3、3/2。但由于-1<x<2，所以只有x=√3符合条件。4.设函数f(x)如下，若f(a)>a，则实数a的取值范围是什么？f(x)={1/(x-1)(x≥1);2(x<1)}答案：a>2或a∈(1,2)。解析：当f(a)>a时，需要分别讨论a≥1和a<1的情况。当a≥1时，f(a)>a转化为1/(a-1)>a，解得a>2；当a<1时，f(a)>a转化为2>a，即a∈(1,2)。5.函数y=(x-4)/(x-2)的定义域是什么？答案：x≠2。解析：函数y=(x-4)/(x-2)的分母不能为0，即x-2≠0，解得x≠2。6.若二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)，B(4,0)，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是什么？答案：y=-2x^2+2x+8。解析：由于函数的最大值为9，所以二次函数的对称轴为x=1/2，即x=-b/(2a)=1/2，解得b=-2a。又因为函数的图象与x轴交于A(-2,0)和B(4,0)，所以二次函数的根为-2和4，即a=1/8c，解得c=-64/3。将a、b、c代入二次函数的表达式y=ax^2+bx+c中，得到y=-2x^2+2x+8。7.函数y=(x-1)/(x-x^2)的定义域是什么？答案：x∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。解析：函数y=(x-1)/(x-x^2)的分母不能为0，即x(1-x)≠0，解得x∈(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)。8.函数f(x)=x^2+x-1的最小值是多少？答案：-3/4。解析：函数f(x)=x^2+x-1的最小值为f(-1/2)=-3/4。9.求函数f(x)=(x-1)/(x+1)的定义域。答案：x≠-1。解析：函数f(x)=(