第十章-能量法课件

材料力学(II)中国地质大学工程学院力学课部第十章能量法§10.1概述§10.2应变能.余能§10.3卡氏定理§10.4用能量法解超静定问题*§10.5虚位移原理及单位力法§10.1概述能量原理：固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。前面解决了强度问题（简单变形——组合变形）刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线

用揭示本质法寻根——能量法1.能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围十分广泛：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础优点：1.不管中间过程，只算最终状态2.能量是标量，容易计算§10.2应变能.余能一、条件大前提：1、小变形；2、服从胡克定律线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数小前提：缓慢加载变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在弹性体内的变形能。即U=W2.杆件的变形能例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：变形能：或在数值上，U=W外力功的表达式思考：外力功在P-D曲线上的几何意义?线弹性小变形下的外力功载荷-位移(P-D)曲线静加载下的外力功内力功（变形能）的表达式应力-应变(σ-ε)曲线线弹性材料的弹性比能弹性材料的弹性比能直杆的轴向拉伸与压缩*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA

。当轴力N=常数时，杆的变形能为U=W=当轴力N=N(x)时，杆的变形能为圆轴扭转*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成**而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp

。当扭矩MT=常数时，杆的变形能为U=W=当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为平面弯曲直梁*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成**而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能*长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为EI。当弯矩M=常数时，杆的变形能为U=W=当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为比较基本变形杆件的变形能计算公式变形能=内力功=(内力2)×杆件长度2×(杆件刚度)变形能=弹性比能×杆件的体积弯曲切应力产生的变形能解：在梁的长度方向上，FS=P；0<x<L梁的弯曲切应力：弯曲切应力产生的变形能：一般而言，在细长梁、刚架等构件中，弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集中力P作用，求弯曲切应力产生的变形能。组合变形杆件的变形能*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成**而且扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形。式中，k为弯曲切应力产生的变形能的计算因子；[]表示弯曲切应力产生的变形能通常忽略不计。对于一般的线弹性体，变形能为用实功原理计算杆件的变形能杆件承受外载荷P作用，沿P的作用方向上发生位移D

。例题：图示矩形悬臂梁，在自由端受到集中力P作用，求自由端的垂直位移。外力功：变形能：在数值上，U=W自由端的垂直位移:解：自由端的垂直位移:设v=0.25，G=0.4E，并注意到，对细长梁L>4h，D<1.046875D0，相对误差≤5%对更多细长梁L>10h，D<1.0075D0。相对误差仅为0.75%则一般而言，在细长梁、刚架等构件中，弯曲切应力产生的变形能可以忽略不计。对于一般的线弹性体，变形能为小结长L的等直杆，承受拉（压）、弯曲、扭转组合变形。1）杆件弹性变形能计算式*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成**而且扭转杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*变形位能的计算不能用叠加原理载荷在载荷引起的位移上做的功载荷在载荷引起的位移上做的功因，也包含互等定理杆件承受外载荷P作用，沿P的作用方向上发生位移△。2）用功能原理计算杆件的变形能一般而言，线弹性杆件i承受外载荷Pi作用，发生位移Di

。3）既可以用杆件系统所受外力，也可以用结构的位移表示杆件系统的变形能。结构的自由度杆件/结构的变形能杆件的变形杆件的内力结构所受外力杆件的内力杆件的变形力法位移法若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下表面上的力为：F=11=其伸长量为：＝

1＝则作用于此单元体上的外力功为：注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的应变能(数值上等于上式中的W)为应变能密度:(-曲线与横坐标轴间的面积）sOde11(c)若取边长分别为dx、dy、dz

的单元体，则此单元体的应变能为：整个拉杆的应变能为：(此为由应变能密度计算应变能的表达式)说明：线弹性体的v、V

可作为非线性体的v、V

的特例。由于线弹性的F与或与成正比，则F－曲线或－曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积等于应变能V

或应变能密度v

。同理，可得纯剪时的应变能密度v为：例:弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。解：梁的挠曲线方程为：荷载所作外力功为：将前一式代入后一式得：wxlyABqx例:原为水平位置的杆系如图a

所示，试计算在荷载F1作用的应变能。两杆的长度均为l，横截面面积均为A，其材料相同，弹性模量为E，且均为线弹性的。解：设两杆的轴力为FN

，则两杆的伸长量均为：两杆伸长后的长度均为：F111ll(a)由图a的几何关系可知：代入前一式得：或：（几何非线性弹性问题）其F-间的非线性关系曲线为：应变能为：FF=()EA3O/lF111llAPR例

半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P的作用，求A点的垂直位移。解：用能量法（外力功等于应变能）FSMNMTAAPNBjT①求内力弯矩扭矩③外力功等于应变能②变形能2.余能设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b

。“余功Wc”定义为：与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc

在数值上相等。F(a)FOdF1F1(b)即：（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）另外，也可由余能密度vc计算余能V

c：其中，余能密度vc为：（代表图c中-与纵坐标轴间的面积）Od1(c)对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。注意：对非线性材料，则余能V

c与应变能V

在数值上不一定相等。余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。例试计算图a

所示结构在荷载F1作用下的余能Vc

。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。解：两杆轴力均为：两杆横截面上的应力为：O11(b)F1CBD(a)所以余能为余能密度为：由已知O11(b)1.卡氏第一定理—导出“力”的定理设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有假设只与第i个荷载相应的位移有一微小增量di，则应变能的变化为：123n123nB§10.3卡氏定理因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量di，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：注意到上式与下式在数值上相等从而有：（—卡氏第一定理）注意：卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。式中Fi及i分别为广义力、广义位移。必须将V

写成给定位移的函数，才可求其变化率。例由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a

所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。解：设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2先假设结点B只发生水平位移1

（图b）则：AB(b)CB'1ABF45O(a)Cl同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）则：当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）AB(c)CB''2应用卡氏第一定理得解得：桁架的应变能为2.卡氏第二定理—导出“位移”的定理设有非线性弹性的梁，梁内的余能为：假设只第i个荷载Fi有一微小增量dFi

，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi

，外力总余功的相应改变量为：余能的相应改变量为：123n123nB由于外力余功在数值上等于余能，得解得：（称为“余能定理”）特别：对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V

在数值上等于余能V

c

，此时上式变为：（称为“卡氏第二定理”）式中的Fi

和i分别为广义力和广义位移。注意：1、卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。2、所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。3、当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。4、实际应用卡氏第二定理计算时，常采用以下更实用的形式：例弯曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。解：在自由端“虚加”外力F任意x截面处的弯矩为：qqxlyABx00lxF例弯曲刚度均为EI的静定组合梁ABC，在

AB段上受均布荷载q作用，如图a

所示。梁材料为线弹性体，不计切应变对梁变形的影响。试用卡氏第二定理求梁中间铰B两侧截面的相对转角。解：在中间铰B两侧虚设一对外力偶MB，各支反力如图b。AB段弯矩方程：qACBllMBMBACBqxx由卡氏第二定理得：结果符号为正，说明相对转角B的转向与图b中虚加外力偶MB的转向一致。BC段弯矩方程MBMBACBqxx例图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移。解：将一对力F视为广义力，即为相应的广义位移。FRFjjR(1-cos)所以1.简单超静定问题及其解法未知力个数等于独立的平衡方程数目,则仅由平衡方程即可解出全部未知力,这类问题称为静定问题,相应的结构称为静定结构.未知力个数多于独立的平衡方程数目，则仅由平衡方程无法确定全部未知力，这类问题称为超静定问题或静不定问题，相应的结构称为超静定结构或静不定结构.所有超静定结构，都是在静定结构上再加一个或几个约束，这些约束对于特定的工程要求是必要的，但对于保证结构平衡却是多余的，故称为多余约束.求解超静定问题,需要综合考察结构的平衡,变形协调和物理三个方面.§10.4用能量法解超静定问题一铰接结构如图示,在水平刚性横梁的B端作用有载荷F垂直杆1，2的抗拉压刚度分别为E1A1，E2A2，若横梁AB的自重不计，求两杆中的内力。L112变形协调方程解：例由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，用铰连接如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力一应变关系为=K1/n，且n>1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。解：取D处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图b。FBDCA132aa(a)BA(b)DC132XFaa由图b的平衡得各杆轴力：余能密度为：BA(b)DC132XFaa注意到D处的变形相容条件D=0

及余能定理D=Vc

/X解得总余能为这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为力法例试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对刚架变形的影响。解：取B处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图(b)。BD段各段弯矩及其对X的偏导如下eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kN·m(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段注意到B处的变形相容条件wB=0及卡氏第二定理解得进一步对图b列平衡方程，可得A处的支反力CA段DqAa2Ca2BMeyxX(b)例图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。FR(a)解：基本静定系统如图b。切口处相应的多余未知力分别用X1、X2和X3表示。与X1、X2和X3对应的广义位移分别为两切开截面的相对分开量、相对转角和相对错动量。值均为0。F22FjX11X2X3XX3X2（b）结合卡氏第二定理得补充方程（取1/4圆环）：其中：解得：在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理。外力虚功=内力虚功外力虚功=虚应变能*§10.5虚位移原理及单位力法P(实际载荷)(单位载荷)Dxdx内力：变形：变形：内力：1、虚功原理内力：变形：变形：内力：内力虚元功虚应变元能外力虚功在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理。虚功原理的适用范围如何？线弹性、小变形条件下即线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法2、图乘法设M0(x)=ax+b（一段斜线），积分项即当M0图中为一段斜线时，莫尔积分项等于M图的面积与M0图中与M图形心坐标对应的函数值。提问：当M图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？常见图形的形心和面积直角三角形二次抛物线二次抛物线面积1=bh/2面积2=2bh/3面积3=bh/3bb/3h3b/8b顶点hb/4b顶点h例题图示梁，求中点C的挠度。利用弯矩图的对称性可简化计算。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).例题图示梁，求载荷作用点的挠度。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).3、力法正则方程例题

悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。问题为三次超静定。除掉A端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。利用叠