等差数列的性质教学课件

等差数列的性质51、山气日夕佳，飞鸟相与还。52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。53、富贵非吾愿，帝乡不可期。54、雄发指危冠，猛气冲长缨。55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美池桑竹之属，阡陌交通，鸡犬相闻。等差数列的性质等差数列的性质51、山气日夕佳，飞鸟相与还。52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。53、富贵非吾愿，帝乡不可期。54、雄发指危冠，猛气冲长缨。55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美池桑竹之属，阡陌交通，鸡犬相闻。等差数列的性质．2．等差数列的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)．等差数列{}的一些性质：3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使 ，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝a，A，b成等差数列性质一、任意两项的关系

在等差数列中，有性质二、性质三、数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。特别地对任意正整数p、q、r若p＋q＝2r，则ap＋aq＝___

判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多性质四、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，……an是等差数列首项为am+1，公差为d，项数为n-m性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，……是等差数列首项为a1，公差为2d（2）取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，……是等差数列首项为a2，公差为2d性质五、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（3）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a7，a14，a21，……是等差数列首项为a7，公差为7d（4）取出的是所有k倍数的项呢？ak，a2k，a3k，……是等差数列首项为ak，公差为kd性质六、已知一个等差数列的首项为a1，公差为da1，a2，a3，……an（1）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列。a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差数列，公差为4d

（2）

数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列。a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差数列，公差为3d。例：性质七、若数列{an}为等差数列，公差为d，则{kan}也为等差数列，公差为kd。若数列{an}与{bn}都为等差数列，则{an+bn}也为等差数列，

{an-bn}也为等差数列，

{pan+qbn}也为等差数列。

{an＋k}也为等差数列性质八练习1、等差数列{an}的前三项和为12，前三项积为48，求an。三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这四个数。四个数等差的设法：a-3d，a-d，a+d，a+3d公差为2d。性质九1、已知：数列的通项公式为an=6n-1问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？分析：由等差数列定义只需判断an-an-1(n≥2，n∈N)的结果是否为常数。解：∵an-an-1=6n-1-[6(n-1)-1]=6(常数)∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.例题分析性质十、1、若一个数列的通项公式为n的一次函数an=pn+q,则这个数列为等差数列,p是公差d.2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数.常数列的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=313414811217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x1．下列说法中，正确的是()A．若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列B．若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列C．若存在自然数n使2an＋1＝an＋an＋2，则{an}是等差数列D．若{an}是等差数列，则对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2答案：

D3．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．答案：

－34．在等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2＝__________.答案：

32.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B5．在等差数列{an}中：(1)a2＋a3＋a10＋a11＝48，求a6＋a7；(2)a1－a4－a8－a12＋a15＝2，求a3＋a13；(3)a3＋a11＝10，求a2＋a4＋a15.解析：

(1)∵a2＋a11＝a3＋a10＝a6＋a7，而a2＋a3＋a10＋a11＝48，∴2(a6＋a7)＝48，得a6＋a7＝24.(2)∵a1＋a15＝a4＋a12＝2a8.而a1＋a15－(a4＋a12＋a8)＝2，即2a8－3a8＝2.∴a8＝－2.∴a3＋a13＝2a8＝－4.(3)∵a3＋a11＝2a7＝10，∴a7＝5.又a2＋a4＋a15＝a7＋a7＋a7＝3a7＝15.∴a2＋a4＋a15＝15.等差数列性质的应用(1)在等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求数列的通项公式；(2)设{an}为等差数列，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，求a2＋a8.(1)先利用等差数列的性质转化为求a2、a6，再求出首项a1和公差d，得出通项公式；(2)既可以先求a5，也可以通过首项与公差求解．[解题过程](1)∵a1＋a7＝2a4＝a2＋a6，∴a1＋a4＋a7＝3a4＝15.∴a4＝5，∴a2＋a6＝10，且a2a6＝9.∴a2，a6是方程x2－10x＋9＝0的两根若a2＝1，a6＝9,则d＝2，∴an＝2n－3；若a2＝9，a6＝1，则d＝－2.∴an＝13－2n.故an＝2n－3或an＝13－2n.(2)方法一：∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450.∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.方法二：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，∴a3＋a4＋…＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋…＋a1＋6d＝5a1＋20d，即5a1＋20d＝450，∴a1＋4d＝90，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.[题后感悟]

求等差数列的通项公式，必须求出首项a1与公差d，为此，利用等差数列的性质，转化为等差数列的两项的方程组求解.等差数列的项与项数有着密切的联系，由m＋n＝k＋l＝2w可得am＋an＝ak＋al＝2aw，在解决等差数列的有关问题中应用非常简便．1．在等差数列{an}中，(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.解析：

(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.[题后感悟]

(1)到目前为止，判断一个数列{an}为等差数列的方法有：①定义法，即an＋1－an＝d；②通项公式法，即an＝An＋B；③等差中项法(无穷数列)，2an＝an－1＋an＋1(n≥2，且n∈N＋)．(2)要证三个数a，b，c成等差数列，只需证2b＝a＋c即可，若已知三个数a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[策略点睛][规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4，这三个数为－2,2,6或6,2，－2.(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.即1－d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，故所求的四个数为－2,0,2,4.[题后感悟]

利用等差数列的定义巧设未知量，从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数