复积分的各种计算方法与应用

第1章引言曹1.1研究背景及研究内容复变函数的积分理论是复变函数理论的重要组成部分，是研究解析函数的重要工具之一.但对于如何计算复变函数积分以及如何处理有关复变函数积分的问题，往往很难迅速找到解决问题的方法.因此，理解复变函数积分，并能够灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要•复积分中的Cauchy积分定理在理论上处于关键地位，由它派生出的Cauchy积分公式、留数定理、辐角原理等都涉及到积分的计算问题.解析函数在孤立奇点的留数原本是一个积分，而实际计算却需要Laurent展式•因而把积分与级数结合起来的留数定理使复积分理论甚至是复变函数理论达到高潮，且其用途十分广泛.因此，研究复变函数积分计算的各种方法有着非常重要的意义，本文以所列参考文献[3]中的复积分计算方法为基础，并通过查阅相关资料，借鉴了文献[4]-[7]的结果，总结复积分计算的各种方法，并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法，对所列出的每种方法作典型例证和分析.1.2预备知识定义1.1⑶复积分设有向曲线C:z…zQCx„t„,),以a…zO为起点，b…z(,)为终点，f(z)沿C有定义•顺着C从a到b的方向在C上依次取分点：a…z,z，…,z,z…b•把曲线C分成若干个弧段•在从z到z(k…1,2,..,n)的每01 n-1n k-1 k一弧段上任取一点匚•作成和数S…区f(匚kz,其中Az…z-z•当分点无限k n kk kkk-1k…1增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数S的极限存在且等于J，则n称fQ沿C(从a到b)可积，而称J为fQ沿C(从a到b)的积分，并记以Jf(z\z・C称为积分路径.Jf(z)dz表示沿C的正方向的积分，Jf(z)dz表cc c-示沿C的负方向的积分.定义1.2⑶解析函数如果函数fQ在z点及fO的某个邻域内处处可导，0那么称f(z)在z点解析，如果fQ在区域D内解析就称fQ是D内的一个解析0

函数.定义1.3[3]孤立奇点若函数fO在点的z邻域内除去点z外处处是解析的,00点.定义1.4[3]<点.定义1.4[3]<„｝内处处解析，则称点z是fO的一个孤立奇0留数函数f(z)在孤立奇点z的留数定义为0Jf(z)dz，记作cRes[f(z),

第2章复积分的各种计算方法2.1复积分计算的常见方法(1)参数方程法定理⑶设光滑曲线C:z，z(t)，x(t)+iy(t)(€„t„卩),(z'(t)在[€,卩]上连续，且z'(t)丰0),又设f(z)沿C连续，则Jf(z)dz，fpf[z(t)]z'(t)dt.(€、p分别与C€起、终点对应)1若曲线C为直线段，先求出的参数方程C为过z,z两点的直线段，C:z，z+(z-z)t,tG[0,1],z为始点，z为终1212112点.例1计算积分J°Rezdz，路径为直线段.-1解设z，—1+(i+1)t，(t—1)+it,tg[0,1]，贝V2.若曲线C为圆周的一部分，例如2.若曲线C为圆周的一部分，例如C是以a为圆心,R为半径的圆.设C:|z—a|，R，即z，a+Reie,6g[0,2‘]，(曲线的正方向为逆时针).例2计算积分J|zdz,C为从-1到1的下半单位圆周.C解设z，e«,dz，ie«d6,6g[一‘,0]，J|z|dz，J0i(cos6+isin6)d6，2.c 一‘用Green公式法也可计算复积分，Green公式法是参数方程法的一种具体计算方法.例3设例3设C为可求长的简单闭曲线Jzdz，2iA.c证明设z，x+iy，贝VJzdz，JxdX+ydy+iJxdy—ydXcc由Green公式，有：Jxdx+ydy，0A是C所围区域的面积，求证:,xdy-ydx=2Ac得证.本题目用Green公式解决了与区域面积有关的复积分问题.(2)用Newton-Leibnize公式计算复积分在积分与路径无关的条件下(即被积函数f(z)在单连通区域内处处解析)也可直接按类似于实积分中的Newton-Leibnize公式计算.例4计算，—2…'(z+2)2dz・€2—2+i i=-3-2解因为f(z—2+i i=-3-2,-2…(z+2)2dz=,-2…(z2+4z+4)dz=-z+2z2+4z-2 -2 3(3)用Cauchy定理及其推论计算复积分Cauchy积分定理⑶设函数f(z)在复平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，贝Mf(z)dz=0・CD=D+C上解析贝叮f(z)dz=0C

dzCauchy积分定理的等价定理⑶ 设函数f(z)D=D+C上解析贝叮f(z)dz=0C

dz解|z|=1是f(z)= 的解析区域内的一闭曲线，由Cauchy积分定理11 z2+2z+2有，—=0・cz2+2z+2注1利用Cauchy积分定理也有一定的局限性，主要是要求被积函数的解析区域是单连通的，计算起来较为方便・注2此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用Cauchy积分定理很简单.另外，Cauchy积分定理可推广到复周线的情形定理⑶设D是由复周线C=C+C-+C-+•••+C-所围成的有界n+1连通0 1 2 n区域，函数f(z)在D内解析，在万=D+C上连续，贝,f(z)dz=0，或写成,f(z„dz+,f(z„dz+…,f(z„dz=0,或写成C0 Ci- C

或写成…f(z)dz+…f(z)dz+……f(z)dz„0・或写成Co Cf C,这也是计算复积分的一个有力工具，即复函数沿区域外边界曲线的积分等于沿区域内边界积分的和・适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形・例6计算…上Jdz的值，C为包含圆周忖=1的任何正向简单闭曲线.Cz2zdz,分别以z„0,z„1为心做两个完全含于C解dz,分别以z„0,z„1为心做两个完全含于CCz2-z cVzz-1<且互不相交的圆周C,C，则有12-^―dz=J[-+丄'Cz2-z C]-^―dz=J[-+丄'Cz2-z C]Vzz-1丿dz=J—dz+…—dz+…-dz+…—dz

C1z C1z_1 C2z C2z_1=2兀i+0+0+2兀i=4兀i.(4)用Cauchy积分公式计算复积分Cauchy积分公式⑶设区域D的边界是周线(或复周线)C,f(z)在D内解析,在D„D+C上连续，则有/(沪農…C理dd(z’D)・Cauchy积分公式可以解决积分曲线内有被积函数的奇点的积分问题例7计算…厶Cz2+1dz，其中例7计算…厶Cz2+1dz，其中C为圆周1^„2.解因被积函数的两个奇点是i,，i，分别以这两点为心做两个完全含于C且互不相交的圆周C,C•则有12-e^dzCz2+1 C1z2+1„2兀i—z+iez ezdz+…edz=Jdz+…dzcz2+1 cz—i cz+i212c-e

+2兀i z，i„兀(ei—e-i).z=，i此题是Cauchy积分公式与Cauchy积分定理复周线情形的结合z„i5)用解析函数的高阶导数公式计算复积分Cauchy积分公式解决的是形如…単d©,(z&D)的积分，那么形如

C匚-z\4^€Ld€,(zeD)的积分怎样计算呢？C(€，Z)n利用解析函数的高阶导数公式f(n)(z)=竺Jf(€^d€,(zeD)(n=1,2,…)可2„iC(€，Z)n+1解决此问题.例8计算J*1^d2，C为忖=2.解因被积函数的两个奇点是i，-i，分别以这两点为心故两个完全含于C而且互不相交的圆周C,C.12C(z2+1)2=Jedz+JedzC1(z2+1)2C2(z2+1)2ez ezJ三dz+Jmdzq(z—I)2 C2(z+i)2=2„i(z2+i)2e=2„i(z2+i)2z=i z=-i„=—(1—i)(ei—ie-i)2注Cauchy积分公式与解析函数的高阶导数公式在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数是否为一次因式，二者在计算时都常与Cauchy积分定理复周线情形相结合.用留数定理计算复积分留数定理⑶设函数f(z)在以C为边界的区域D内除a,a，…,a外解析，且连1 2 n续到C,则Jf(z)dz=2„i区Resf(z).C k=1z=ak例9计算J!zl=2育dz-5z一2解f(z)= ——在圆周z=2内有一阶极点z=0，二阶极点z=1.z(z，1)2

----2,Resf(z)-z€1€2，由留数定理薯壬dz-2<iCsf⑵+Resf⑵)-2<i(2-2)-0.Iz-2z(z—1丿2 z-1 z-0留数计算方法的改进留数是复变函数中的一个重要的概念，一般的复变函数专著对函数在极点处的留数通常采用下面三个引理中叙述的计算方法进行计算，即引理1⑶若a为f(z)的m阶极点，即f(z)-/少&))，其中申(z)在a解析，且(z-a)m申(a申(a)丰0,则Resf(z)-z€a申(m-1)(a)(m-1)!引理2⑶若f(z)-—，其中9(z),屮(z)在a解析，申(a)丰0,屮(z)屮(a屮(a)—0,屮，(a)主0,则Resf(z)-z-a9(a)

屮'(a)引理3⑶设f(z)在扩充复平面上除a,a，…,a,‘外解析，,则f(z)在各点的1 2 n留数总和为零，即Resf(z)+'Resf(z)-0・z-‘ k-1z-ak在实际运用中，发现以上三个引理所给公式应用范围有限，对有些留数的计算效果不佳.为了使计算简化、公式更为通用，下面通过三个定理给出三个改进的留数计算公式，并相应的给出算例.定理1⑹设a是h(z)的m阶零点，也是g(z)的m阶零点，则f⑵-凹在a1 dm-1厂 「 h(z)点的留数为Resf(z)-lim ”(z—a)mf(z).TOC\o"1-5"\h\zz-a (m—1)!z“adzm-1L 」证明因为a为f(z)的m-n阶极点，则f(z)在点a的邻域内可展开为f(z)—C (z—a)-(m-n)+C (z—a)1-(m-n)+••+C(z—a)-1+C+C(z—a)+•••.-(m-n) 1-(m-n) -1 0 1则(z—a)mf(z)—C (z—a)n+C (z—a)n+1+•••+C(z—a)m-1+C(z—a)m+•••.-(m-n) 1-(m-n) -1 0

两端求m-1阶导数，令zta,则C„-Um—…(z-a)mf(z)]・运用定理1只需判断f(z)分母零点的阶数，不必判断分子的零点阶数及f(z)极点的阶数，它简化了一些分式函数留数的计算.推论1[6]设f(z)„g)，其中申(z)在点a解析，贝卩(z-a)nResf(z)„ -申(n-1)(a).z„a (n-1)!例10求f(z)„(1-e22)2在孤立奇点处的留数.z5解因为z„0是h(z)„z5的5阶零点，据推论1[6],有Resf(z)„丄lim竺(z5-f(z))„丄lim巴(1-e2z)2„28

z„o 4!zTodz4丿 4!zTodz4 3定理2[6]设a为f(z)=—的一阶极点，且9(z),屮(z)在a解析，z„a为屮(z)9(z)的m阶零点，为屮(z)的m+1阶零点，则Resf(z)=z=a 屮(m+l)(a)证明由假设可得9(z)=a(z-a)m+a(z-a)m+1+—，屮(z)=b(z-a)m+1+b(z-a)m+2+—.m m+1 m+1 m+2又a为f(z)的一阶极点，则f(z)=C(z-a)-1+C+C(z-a)+…，即-1 o19(z)=屮(z9(z)=屮(z)C1(z-a)-1+C0+C1(z-a)+…9(m)(a)a= ,bmm! m+19(m+1)(a)(m+1)!，由此解得C-1・比较系数得(m+1)9(m)(a)

屮(m+1)(a)a m—-1bm+1例11计算积分<尹仝dz.zl=1(1—ez)3解被积函数在单位圆内只有z=0一个奇点，且z=0是屮(z)=(1-ez)3的三阶零点，是9(z)=zsinz的二阶零点，又€，，(z)=2cosz一zsinz,屮，，，(z)=一3ez+24e2z„27e3z.由定理2[6]由定理2[6]，得Resf(z)=z=0(2+1)€⑵(0)

屮⑶(0)定理3M设/(定理3M设/(z)=Qi，其中P(z)=azn+azn-i+ +a(a丰0),n n-1 0nQ(z)=bzm+b 结论:m m-1 0m(1)当m-n>2时，Resf(z)=0；z=g当m当m-n=1时，aResf(z)=--n

z=s bm⑶当m-n<0时，设P(z)=R(z)Q(z)+r(z),其中R(z),r(z)为z的多项式，且r(z)的次数小于m,的次数小于m,则Resf(z)=Resz=8 z=8化为1)或2).此定理的结论是求有理函数f(z)在8点留数的一个好方法，使用起来很方便当分子次数比分母高时，可用综合除法转化为1)或2)的情形.例12计算积分I=J z dz.z1=4(z2+1)2(z4+2)解被积函数在|z|=4内部有6个奇点，计算它们十分麻烦，利用留数定理⑶及引理3⑶有I=-2<iResf(z)•再利用定理3⑹，a=1,b=1，则mmz=8故I故I=2<i.Resf(z)=-—m=-1，bz=8m例13求1=J|dz(nN)•解设被积函数f(z)的n个极点为(k=1,2,..・n)，并且f(z)在|z|=2外部无极点，利用留数定理及引理3[3]，

3=zn-2+—^,利用定理

zn…1I=2兀i„Resf(z)=-2兀iResf(z),而f(z)=Z"—Z"…1k3=zn-2+—^,利用定理

zn…13[6]3I--2兀iResz=,zn+10,n>1;6兀i,n=1.注运用定理3［6］求有理函数f(z)在，点的留数特别简洁,并且利用它求f(z)在孤立奇点的留数可以达到事半功倍的效果.用级数法计算复积分连续性逐项积分定理］设f(z)在曲线c上连续(n=1,2,3,…)，„f(z)在cnnn=1上一致收敛于f(z)，则f(z)在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：J„f(z》z=Jf(zAz•将函数展成Taylor级数或Laurent级数就解决了该类复cn=1n c例14计算积分J„zndz,C:|z|=二・c‘n=—1 例14计算积分J„zndz,C:|z|=二・c‘n=—1 '解在Iz“I内，有：=I…在n=—1所以J(„zndzc‘n=-1丿例15设f(z)在圆环0“z-a“R=乍+占1c‘z1—z'内解析，且lim(z-a)f(z)=0，证明：在圆z”a环0““R内’有f(z<=屋L•-f(n2dz (o“r“R<.z证明因为f(z)在圆环0“|z-a|<R内解析，故有f(z<=„C(z-a<n0“|z-a“R，于是(z—a)f=C(z—a)+C(z—a<2+•••+C(z—a\+1+…+C+—4+ +…+ +…0 1 n -1z—a (z—a<2 (z—a》由lim(z—a<f(z)=0，得C=C=•••=C=0,—1 2 -nz”a则f(z)=„CZ在|z-a<R内解析，根据Cauchy积分定理可得：nn1n=0f(2)=丄丿 ^Lz (0<r<R).2兀ih-aLrn-Z(8)用Laplace变换法计算复积分定义⑷设f(t)是定义在[0,<，)上的实函数或复函数，如果含复变量p=g+is(6s为实数)的积分f<,f(t、-Ptdt在p的某个区域内存在，则由此积0分定义的复函数F(p)=f<,f(t\-ptdt称为函数f(t)的Laplace变换，简记为0F(p)=L[f(t)「.计算该类复积分时，可先运用Laplace变换的基本运算法则(线性关系、相似定理、位移定理、象函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积定理等)，将该类复积分化为F(p)的形式，再参照Laplace变换表，得出相应的复积分结果.例16计算积分J®—2cosoJa例16计算积分J®—2cosoJa兀z12aze-pzdz.cosa兀z12azL[f(az)]』0cosa兀ze-pzdz2az‘p'由Laplace变换表得所以「所以「1 cos丄e-pzdz=1Foa兀z 2az ap'2.2各种方法的选择原则及其联系上一节给出了复积分的各种计算方法.那么,碰到有关复积分计算的题目时,我们到底应该如何选择具体的计算方法,简便而快捷地进行计算呢.这是本节所要探讨的主要问题.我们知道,复积分是由三部分构成的,即积分路径、被积函数以及积分微元。其中积分路径和被积函数对复积分起着决定性的作用.因此，如何才能正确选择上节中的各种复积分计算方法进行复积分的计算就要从这两方面进行分析.若所给复积分的积分路径是闭的，则有以下两种情况：被积函数为解析函数时，可选用Cauchy积分定理及其等价定理直接得出结果；被积函数在积分路径所围区域内有奇点时，则需根据奇点个数进行讨论：若奇点个数有限，则可选用Cauchy积分公式、高阶导数公式或留数定理进行计算；若奇点个数无限，则可先对奇点类型进行判断，再利用参数方程法进行计算.若所给复积分的积分路径是非闭的，则有以下两种情况：被积函数为解析函数时，则可选用Newton-Leibnize公式进行计算；被积函数为非解析函数时，可选用参数方程法进行计算.在很多复积分的计算中，Cauchy积分公式、高阶导数公式在运用往往与Cauchy积分定理相结合，还有一些题目也常常需要将Cauchy积分公式与Cauchy积分定理相结合.因此，复积分的多种计算方法在应用时并不是完全独立、没有联系的.例如，Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、高阶导数公式就是留数定理的特例.下面给出说明.Cauchy积分定理⑶设函数f(z)在复平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，贝Mf(z)dz€0.CCauch积分公式3］设区域D的边界是周线(或复周线)C,f(z)在D内解析，在D€D,C上连续，则有f(z)=丄J d©(z…D)・2„ic:-z高阶导数公式⑶f(n)(z)€二J 逐d©,(z…D)(n€1,2,…)2„ic(©—z)n+1

留数定理⑶设函数f0在以c为边界的区域D内除a,a，…,a外解析，且连1 2 n续到c，则…f(z)dz=2,i„Resf(z)•c k=1z=ak说明（1）根据Cauchy积分定理，函数f（z）在复平面上的单连通区域D内解析，即函数f（z）在D内无奇点，故可解释为奇点处的留数之和为0.则根据留数定理，有Jf（z）dz二0•C（2）令F（匚）=竺2,根据Cauch积分公式的条件可知，（匚）作为匚:-z的函数在D内除点z外均解析根据留数定理JF（g）dg二2,iResF（g）.c g=z且匚=z为F（匚）的一阶极点，故ResF（匚）=（匚—z）F（匚）二f（z）.z即…F（C）d©=2,f（z）.：.f（z）= …F（©）d匚二 …d:2,icc 2,ic 2,i2,ic（3）高阶导数公式是在Cauchy积分公式的条件下得到的，这里令f（乙）F（匚）= •根据Cauchy积分公式的条件可知，F（匚）作为匚的函（匚-z》+1数在D内除点z外均解析，根据留数定理，有JF（C）dC=2,iResF（匚）.c g=zf （）且匚=z为F（匚）的n+1阶极点，故ResF（匚）=巴“z n!即J即JF(c)dC=2,icf(n)(z)n!参考文献［1］ 刘玉琏等编《数学分析讲义》上、下册（第五版）［M］.高等教育出版社，2008.［2］ 华东师范大学数学系编《数学分析》上、下册（第四版）［M］.高等教育出版社，2010.［3］ 钟玉泉编，《复变函数论》（第三版）［M］.高等教育出版社，2005.