第二章-科学严谨的几何证明课件

02科学严谨的几何证明主要内容§1几何证明概述§2证度量关系§3证位置关系2023/7/202学习重点：重点是几何题的各种证明方法及应用．同一法、三角法、向量法等方法的应用是难点．

度量关系：线段或角的相等；和差倍分线段角；比例线段；定值问题的证法；位置关系：平行的证法；垂直的证法；共线点的证法；共点线的证法；共圆点的证法；共点圆的证法；2023/7/203§1几何证明概述一、几何证明的一般方法1.按推理的逻辑结构分逻辑推理演绎推理（证明推理）合情推理归纳推理类比推理2023/7/204一、几何证明的一般方法数学证明方法演绎法归纳法普通归纳法数学归纳法完全归纳法不完全归纳法演绎法：证题时由一般规律推导特殊事项的推理方法称为演绎法．换句话说，演绎法是从一般到特殊的推理方法.归纳法：以个别或特殊的知识为前提推导出一般性知识为结论的推理方法称为归纳法．即归纳法是从特殊到一般的推理方法．§1几何证明概述2023/7/205一、几何证明的一般方法2.按推理的序列方向分分析法——由命题的结论出发，执果索因，探寻结论（及中间结论）成立的必要条件，如此逐步往上逆求，直至达到已知的事实。

综合法——由命题的假设入手，由因导果，通过一系列的正确推理，逐步靠近目标，最终得出结论．证题方法§1几何证明概述2023/7/206一、几何证明的一般方法3.按所证明的命题类型分证题方法直接证法间接证法反证法同一法归谬法穷举法（１）直接证法：由命题的假设出发，根据定义，公理，定理进行一系列正面的推理，最后得出命题的结论，此证明方法称为直接证法．（２）间接证法：对于不能直接证明的命题，我们往往证明它的等效命题（如逆否命题），这种证明方法称为间接证法．§1几何证明概述2023/7/207间接证法包括反证法与同一法①反证法：由否定结论的正确性出发，根据假设，定义，公理，定理进行一系列正确的推理，最后得出一个与命题的假设或某个公理，定理或自相矛盾的结果，表明结论的反面不能成立，从而可以肯定原结论的正确性．利用反证法，当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成了证明，这种反证法叫归谬法；当结论的反面有多款时，必须驳倒其中每一款，这种反证法称为穷举法．②同一法：若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，有时可以作出具有所有性质的图形，然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个，把他们等同起来，这种证明方法称为同一法．§1几何证明概述一、几何证明的一般方法3.按所证明的命题类型分证题方法直接证法间接证法反证法同一法归谬法穷举法2023/7/208一、几何证明的一般方法4.按所选知识工具分证题方法平面几何证法三角法代数法（如复数法）坐标法（解析法）向量法……§1几何证明概述2023/7/209§1几何证明概述例1.在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线l，如果它将正方形分为面积相等的两部分，试证：这曲线的长度不小于1．二、例题选讲MNCBAD

分类思想、化归思想2023/7/2010§1几何证明概述例2以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形△ＥＣＤ，使其两底角都是１５°，则△ＡＢＥ是等边三角形．ＡＢＣＤＥＥ’二、例题选讲ＡＢＣＤＥF同一法．2023/7/2011§1几何证明概述例2.以正方形ＡＢＣＤ的一边ＣＤ为底向形内做等腰三角形ＥＣＤ，使其两底角都是１５°，则△ＡＢＥ是等边三角形．二、例题选讲ＡＢＣＤＥFG21三角法．2023/7/2012§1几何证明概述思考题.1.证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

已知：直角三角形ＡＢＣ，Ｍ是斜边ＡＣ的中点，求证：ＡＭ＝ＢＭ＝ＣＭ.ＡＢＣＭDE穷举法．2023/7/2013§1几何证明概述例3.设ＡＢＣＤ为任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H将ＣＤ分成三等分，求证：SEFGH=SABCD．二、例题选讲2023/7/2014§1几何证明概述例3.设ＡＢＣＤ为任意四边形，E、F将AB分成三等分，G、H将ＣＤ分成三等分，求证：SEFGH=SABCD．二、例题选讲特殊化思想x3x5x3yy5y只需证2023/7/2015§1几何证明概述二、例题选讲：

例4.如图，AD为△ABC的BC边上的中线，O为AD上一点，直线BO、CO与AC、AB分别交于E、F.求证：EF∥BC．

证法1：延长OD,补平行四边形

2023/7/2016§1几何证明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E．求证：∠AME=∠CMB．二、例题选讲补形FNαγβ略证：易证△CAN≌△BCM，因此N是AF的中点，由对称性可知，FM经过点E，立即可知∠AME=∠CMB．2023/7/2017§1几何证明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E．求证：∠AME=∠CMB．二、例题选讲坐标法yx略证：建立坐标系如图，欲证∠AME=∠CMB．只需证kBM=-

kEM求出各点坐标计算斜率即可得证。2023/7/2018§1几何证明概述例5.在等腰直角三角形ABC中，M是腰AC的中点，过直角顶点C作CD⊥BM于D，CD延长线交AB于E．求证：∠AME=∠CMB．二、例题选讲（三角法）三角法2023/7/2019§1几何证明概述2023/7/2020§1几何证明概述复数法2023/7/2021§1几何证明概述二、例题选讲（复数法）例6．如图，以平行四边形ABCD的边AB、AD向外作正方形ADMX、ABNY，求证：AC⊥XY且AC=XY．证明：以A为原点建立复平面，设点B、D对应的复数为z1、z2

2023/7/2022§1几何证明概述向量法2023/7/2023§1几何证明概述向量法例7：证明：在三角形中，三条高交于一点（垂心）2023/7/2024§1几何证明概述例8.设AD是△ＡＢＣ的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F.证明：AD平分∠EDF．二、例题选讲证法一：2023/7/2025§1几何证明概述例8.设AD是△ＡＢＣ的高，P为AD上一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、F.证明：AD平分∠EDF．二、例题选讲（解析法）2023/7/2026第三届(1993年)澳门数学竞赛题;第十四届(2001年)爱尔兰数学竞赛题；第十八届(1958年)普特南数学竞赛题；第二十六届(1994年)加拿大数学竞赛题；首届(1987年)“友谊杯”国际数学竞赛题.”1.图中，过AB为直径的半圆上任一点C,作CD垂直AB于D,圆H与CD、弧BC分别相切于E、F，又与AB相切于G，求证：AC=AGO

R

x

rH代数法练习：2023/7/20282.在正方形ＡＢＣD中，作DE∥AC，在DE上取一点F，使AF=AC，又作CE∥AF，交DE于F，求证：∠DAF=∠FAE=∠EAC．试用坐标法证明45°练习：2023/7/20293.已知：AC⊥AB，BD⊥AB，AD与BC交于E，过E作EF⊥AB于F，求证：∠AFC=∠BFD．练习：C’2023/7/2030思考题：试用坐标法证明2023/7/2031思考题：2.在△ＡＢＣ的两边ＡＢ和ＡＣ向外作正方形ＡＢＥＦ和ＡＣＧＨ，则：（1）△AＢＣ的高线ＡＤ必平分ＦＨ；（2）反之，△AFH的中线AM必垂直于BC.试用复数法证明（2）PQ2023/7/2032思考题：3.证明：梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于两底之差的一半．试分别用坐标法、向量法证明4.在三角形各边上取一点，分各边所成的比相等，证明这三点构成的三角形与原三角形有相同的重心．2023/7/2033§2证度量关系一、方法归纳（一）证线段相等（１）全等三角形的应用（２）等腰三角形的应用（３）平行四边形的应用（４）媒介线的应用（５）圆内等量的应用（二）证明角相等（１）全等三角形的应用；（２）等腰三角形的应用；（３）平行线的应用；（４）媒介角的应用；（５）三角形中内角与外角的关系；（６）圆心角，圆周角，弦切角的关系；（７）相似形的应用．2023/7/2034§2证度量关系（三）证线段与角的和、差、倍、分关系（１）三角形两边中点的连线等于第三边的一半；（２）梯形两腰中点的连线等于两底和的一半；（３）平行四边形的对角线互相平分，菱形的角被对角线平分；（４）直角三角形中若有一个锐角为30°，则斜边是30°角对边的２倍；（５）直角三角形斜边中点距三顶点等远；（６）三角形一外角等于不相邻二内角之和等等（四）证明线段、角的不等关系（１）三角形中，大角对大边；（２）圆内，直径是最大弦；（３）点到直线的垂线段最短；（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边……2023/7/2035§2证度量关系（五）、证比例线段关系（１）三角形的角平分线定理；（２）圆幂定理；（３）平行线分线段成比例定理；（４）相似三角形对应线段成比例……2023/7/2036§2证度量关系几个著名定理2023/7/2037§2证度量关系几个著名定理2023/7/2038§2证度量关系例1：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明AP=BP+PC二、例题选讲证法1：延长BP至D使PD=PC，连CD.然后证明AP=BD.2023/7/2039§2证度量关系例1：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明AP=BP+PC二、例题选讲证法2：在AP上取一点C’，使PC’=BP，连BC’.然后证明AC’=PC.C’2023/7/2040§2证度量关系例1：等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中，最长的等于其余两线的和.即：证明AP=BP+PC二、例题选讲证法3(托勒密定理)：BC·AP=AC·BP+AB·PC，所以AP=BP+PC2023/7/2041例3．证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常量．设Ｐ为等腰三角形ＡＢＣ底边ＢＣ上任一点ＰＤ⊥ＡＢ，ＰＥ⊥ＡＣ，证明:ＰＤ＋ＰＥ为常量．ＡＢＣＤＨＰＥ§2证度量关系2023/7/2042例4：从圆心Ｏ向已知直线l作垂线OM，通过垂足M任作两条直线AB和CD，交圆于A，B，C，D．交直线l于P、Q.求证：MP=MQ．蝴蝶定理来由

:蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法。

2023/7/2043例4：从圆心Ｏ向已知直线l作垂线OM，通过垂足M任作两条直线AB和CD，交圆于A，B，C，D．交直线l于P、Q.求证：MP=MQ．证法一：综合法

2023/7/2044例4：如图，已知AC=CB,求证：MC=CN．§2证度量关系三角法2023/7/2045例4：如图，已知AC=CB,求证：MC=CN．§2证度量关系NMCAGBDEF证明：连接DA、DB、FA、FB，D（AM，CB）=D（AG，EB）

=F（AG，EB）=F（AC，NB）即（AM，CB）=（AC，NB）MC=CN．射影几何法圆也是二次曲线2023/7/2046§2证度量关系例5：设ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是△ＡＢＣ的三条高线（则△ＤＥＦ称为△ＡＢＣ的垂足三角形）．证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角．2023/7/2047§2证度量关系例6：三角形垂心到顶点的距离，等于其外心到对边中点距离之二倍．2023/7/2048§2证度量关系例：在△ABC中，已知AB>AC，E是BC边上中线AD上一点，求证：∠ECD>∠EBD.不等关系的证明2023/7/2049§2证度量关系练习：1、圆内三弦AB、CD、EF两两相交于P、Q、R，且PC=QE=RA，PB=QD=RF，求证：△PQR是正三角形．aaabbbxzy2023/7/2050§2证度量关系2.在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，以AB为直径的圆切CD于E，过E作EF∥BC交AB于F，求证：AC平分EF．M连接BD交AC于M，先证明EM∥BC（从而M在EF上），再证明M是EF的中点。2023/7/2051§2证度量关系7.在锐角△ABC中，作BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，取BC的中点F，求证：∠FED=∠EDF=∠A.因为FE=FD=BF=FC，所以∠1=∠2，∠3=∠B,∠4=∠C，2∠1+2∠B+2∠C=360°,所以∠1=180°-（∠B+∠C）=∠A.1324ED2023/7/2052§2证度量关系31.如图，以△ABC的边AB、AC向形外作正方形ABEF、ACGH，求证：BH=CF.证△ABH≌△AFC.2023/7/2053§2证度量关系如图，已知⊙O和⊙O1外切于P点，AB为两圆的一条外公切线，A、B为切点，AC为⊙O的直径，CD切⊙O1于D，求证：AC=CD.CD2=CP∙CBAC2=CP∙CB需证明C、P、B共线思考题POO12023/7/2054§2证度量关系13.在△ABC中，已知AB≤1/2AC，求证：∠ACB<1/2∠ABC..D2023/7/2055平面几何中的位置关系证明问题：1.两直线平行、垂直2.点共线3.线共点4.点共圆5.圆共点§3位置关系的证明2023/7/2056一、平行、垂直§3位置关系的证明平行：1.同时和第三条直线平行的两条直线平行.2.平行线的判定:同位角相等(内错角相等、同旁内角互补)两直线平行.3.在同一平面内,和同一直线垂直的两条直线平行.4.平行四边形的性质:平行四边形的对边平行且相等.5.三角形中位线定理.6.梯形中位线定理.7.平行于三角形一边的直线的判定:如果一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.8.经过圆的直径两端点的切线互相平行.2023/7/2057一、平行、垂直§3位置关系的证明垂直：1.证两直线构成直角.2.利用等腰三角形的“三线合一”证明垂直

.3.矩形的邻边、菱形的对角线互相垂直.4.利用勾股定理的逆定理可证明垂直

.5.直径所对的圆周角是直角.2023/7/2058一、平行、垂直§3位置关系的证明例1：已知，如图，点E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，且AE=DF，AF与DE交于点H，BF与EC交于点G，求证：GH∥CD，且。2023/7/2059一、平行、垂直§3位置关系的证明例2.以△ABC的三边为边在BC边的同侧作等边三角形ABD、BCF、ACE，连结DF、EF。求证：DF∥AE2023/7/2060一、平行、垂直§3位置关系的证明如图，两圆外切于P，过P任作一直线分别交两圆于A、B，一条外公切线分别切两圆于C、D，求证：AC⊥BD.QH2023/7/2061一、平行、垂直§3位置关系的证明圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于E、F，求证：∠E、∠F的平分线互相垂直.4522131只需证∠4=∠5∠4=∠B+∠2∠5=∠3+∠2而∠3=∠B.2023/7/2062§3位置关系的证明24.已知：AB’∥A’B，AC’∥A’C

，求证：BC’∥B’C.2023/7/2063§3位置关系的证明25.在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠B的三等分线交BC边上的高于M、N，CN的延长线交AB于E，求证：EM∥BN.1130°30°分析：只需证这可以通过计算证明设AC=则可求得AE、DM、DN64§3位置关系的证明27.以四边形ABCD的各边为直径作圆，求证：相邻两个圆的公共弦与另两个圆的公共弦平行.2023/7/2065二、共点线的证法证明三线共点的方法：1.转化为共线点的问题来证明2.利用已知的共点线定理（如外心、内心、重心、垂心等）3.应用Ceva定理4.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心5.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、布利安双（Brianchon）定理等6.解析法§3位置关系的证明☆2023/7/2066二、共点线的证法已知⃞EFGH的各顶点分别在⃞ABCD的各边上，求证：AC、BD、EG、FH四线共点.§3位置关系的证明证法一：设AC、BD交于O，再证明EG、FH经过O.证法二：Desargues定理.2023/7/2067§3位置关系的证明几个著名定理2023/7/2068三、共线点的证法证明三点（Ｘ，Ｙ，Ｚ）共线的方法：1.利用平角：证明∠XYZ=180°（或0°）2.证明ＸＹ与ＸＺ平行于同一条直线；证明Ｘ、Ｙ、Ｚ同在一定直线上；证明ＸＺ和某定直线的交点就是Ｙ3.利用已知的共线点定理（如欧拉线、西姆松线等）4.应用Menelaus定理5.利用位似形的性质——对应点连线过位似中心6.利用射影几何有关定理：德萨格（Desargues）定理、帕普斯（Pappus）定理、帕斯卡（Pascal）定理等§3位置关系的证明☆2023/7/2069三、共线点的证法两圆相切于P，AB、CD是这两个圆的平行弦，求证：若A、P、D共线，则B、P、C共线.§3位置关系的证明122023/7/2070§3位置关系的证明几个著名定理2023/7/2071§3位置关系的证明几个著名定理2023/7/2072§3位置关系的证明2023/7/2073§3位置关系的证明例1：证明：在三角形中，（1）三条中线交于一点（重心）；（2）三条角平分线交于一点（内心）；（3）三条边的中垂线交于一点（外心）；（4）三条高交于一点（垂心）例题选讲Ceva定理2023/7/2074§3位置关系的证明例2：在△ABC中，设三边BC、CA、AB分别与三角形的内切圆相切于X、Y、Z，证明：AX、BY、CZ交于一点（葛尔刚（Gergonne）点).例题选讲Ceva定理2023/7/2075§3位置关系的证明例3：莱莫恩（Lemoine）定理如图，过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线．例题选讲Menelaus定理能否用射影几何中的Brianchon定理证明？2023/7/2076§3位置关系的证明例4：西姆松（Simson

）定理三角形外接圆周上任意一点，在三边（所在直线）上的射影共线．例题选讲12证法一：只需证∠1+∠2=180°证法二：应用Menelaus定理2023/7/2077四、共圆点的证法证明四点共圆，通常用下列方法：（1）证诸点到一定点的距离相等（圆的定义）（2）证明ＡＢＣＤ是圆内接四边形（或证对角互补，或证某两点视另两点连线段的视角相等，当然这两点要在这线段的同侧）（3）相交弦定理之逆：若ＡＢ∩ＣＤ=O，证明ＯＡ·ＯＢ＝ＯＣ·ＯＤ（4）直径所对圆周角是直角：如果其中某两点的连线段为直径，可证明其余的点对这线段的视角均为直角．§3位置关系的证明2023/7/2078四、共圆点的证法例4：三角形三边中点，三垂足，垂心与三顶点连线段的中点，这九点共圆，称为这三角形的九点圆．如图：Ｌ，Ｍ，Ｎ设是△ＡＢＣ三边中点，Ｄ，Ｅ，Ｆ是垂足，Ｈ是垂心，