2021年江苏省常州市市勤业中学高三数学理下学期期末试题含解析

2021年江苏省常州市市勤业中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，，则A．(0,1)

B．(0,2)

C．(－∞,2)

D．(0,+∞)参考答案：C2.已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：B本题考查了函数的周期性、单调性及其图象，难度较大。令，则或，又函数以2为周期，故的根还有，，，，，故在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7个.，故选B。3.在△ABC中，,则A的取值范围是（A）

（B）

(C)

（D）参考答案：C

本题考查三角函数的正弦定理和余弦定理以及三角函数的知识，考查了学生对有关式子的变形能力，难度一般。

因为，所以由正弦定理化简得，即，由余弦定理得，,所以，选择C。

4.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）A． B． C．0 D．1参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得：cosA===．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．5.已知，若当时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．(－∞,－1)

B．(－∞,1)

C.

D．(0,1)参考答案：B6.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于（

）A. B. C. D.参考答案：C7.在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量，一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如果是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图，第1、2问满分均为6分，图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（）A．此题没有考生得12分B．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏C．分数在[40，50）的考生此大题的平均得分大约为4.8分D．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差参考答案：B【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，即可得出结论．【解答】解：由图中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，分数越高的同学，第1问得分高，说明此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，故选B．8.已知方程在有两个不同的解（），则下面结论正确的是：A．

B．

C．

D．参考答案：A9.执行如图1所示的程序框图，若输入的值为4，则输出的值是A．

B．C．

D．参考答案：C

10.函数的大致图象是

（

）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设有两个命题：(1)不等式|x|＋|x－1|>m的解集为R；(2)函数f(x)=(7－3m)x在R上是增函数；如果这两个命题中有且只有一个是真命题，则m的取值范围是

.

参考答案：

12.已知，则____________.参考答案：

13.正三角形的边长为2，将它沿高翻折，使点与点间的距离为1，此时四面体外接球表面积为____________.参考答案：14.设直线，与圆交于A，B，且，则a的值是______．参考答案：10或－30因为，圆心为，半径为，，由垂径定理得，所以圆心到直线的距离为4．，，故填10或－30．15.等差数列中，，则该数列的前项的和

.参考答案：在等差数列，得，即。所以。16.数,则=________.参考答案：【答案解析】e解析：.【思路点拨】对于分段函数求函数值，要结合自变量对应的范围代入相应的解析式..17.在三棱锥P-ABC中，，，，，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为__________.参考答案：【分析】画出图形，经过分析可得三棱锥P-ABC的外接球的球心在的外接圆圆心的位置，利用正弦定理即可求出外接球的半径，最后求出表面积。【详解】如图所示：，，则，又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接、，为直角三角形，，，为边的中点，，又在中，，为边的中点，，，，，，即，则为直角三角形，，，又，则平面，又平面，平面平面，又三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，球心在的连线上，又，则点在的外接圆圆心的位置，又，，，则，由正弦定理可得：，解得：，三棱锥的外接球的表面积为：，故答案为：【点睛】解决几何体的外接球问题时，关键在于如何确定外接球球心的位置和半径，其中球心在过底面多边形的外接圆圆心且与底面垂直的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等，利用正余弦定理或是勾股定理求解可得球的半径，本题属于中档题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元米，中间两道隔墙建造单价为248元米，池底建造单价为80元米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低.参考答案：（1）设污水处理池的宽为米，则长为米则总造价（元）当且仅当，即时取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元

(2）由限制条件知设在上是增函数，当时（此时），有最小值，即有最小值

当长为16米，宽为米时，总造价最低19.已知公差不为零的等差数列{an}的前4项和为10，且成等比数列．（1）求通项公式an；（2）设,求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：（1）an=3n－5；（2）.分析】（1）根据题意得到关于首项和公差的方程组，解出首项和公差，即可得到通项公式；（2），根据等比数列求和公式得到结果即可.【详解】（1）由题意知解得

所以an=3n－5.（2）∵∴数列{bn}是首项为，公比为8的等比数列，所以.【点睛】这个题目考查了等差数列的基本量的计算，等比数列的前n项和的计算，题型较为基础。求数列的和的方法，常见的有：按照等差等比公式求解，倒序相加法，错位相减法，分组求和等.20.党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间[80,100]的为优等品；指标在区间[60,80)的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：甲种生产方式：指标区间频数51520301515

乙种生产方式：指标区间频数51520302010

（1）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；（2）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？参考答案：（1）①优等品3件，合格品2件；②；（2）选择乙生产方式.【分析】（1）①根据频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，即可得到抽去的件数；②记3件优等品为，，，2件合格品分别为，，从中随机抽2件，列举出基本事件的总数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解；（2）分别计算出甲、乙种生产方式每生产100件所获得的利润为元元，比较即可得到结论．【详解】（1）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.②记3件优等品为，，，2件合格品分别为，，从中随机抽2件，抽取方式有，，，，，，，，，共10种，设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为，则事件发生的情况有6种，所以.（2）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品.设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为元，乙种生产方式每生产100件所获得的利润为元，可得（元），（元），由于，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.【点睛】本题主要考查了频率分布直方表与频率分布直方图的应用，其中解答中熟记在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，且所有小长方形的面积的和等于1，合理利用古典概型及其概率的计算公式求解概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．21.已知抛物线，圆.（I）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（II）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.参考答案：（I）由题意，得，从而.

解方程组，得，所以.

5分（II）设，则切线的方程为，整理得