第10章高等数学教学课件

1．解释原函数、不定积分、定积分的概念2．掌握不定积分的运算法则、熟悉基本积分公式、列出定积分的性质、概述微积分基本公式3．说出计算不定积分的换元积分法和分部积分法、写出定积分换元积分公式及分部积分公式.能用这两个公式计算定积分。4．能运用定积分理论解决实际问题5．简述广义积分收敛与发散的概念

第十章一元函数积分学

2020/10/161第一节不定积分

一、不定积分的概念

1、原函数与不定积分的概念

定义1如果在区间I上，可导函数F（x）的导函数为f(x)，即对任一x∈I，都有=f(x)或

dF(x)=f(x)dx那末函数F(x)就称为f(x)在区间I上的一个原函数。一个函数的原函数不是惟一的。

2020/10/162定义2

如果在区间I上函数是函数f(x)的一个原函数，则称的全体原函数为f(x)在区间I上的不定积分，记为其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，任意常数C称为积分常数。由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即

因而不定积分可以表示f(x)的任意一个原函数。

2020/10/163

2．不定积分的性质

2020/10/164二、不定积分的基本公式与运算法则1．不定积分的基本公式(k是常数)

（μ≠－1）

2020/10/1652020/10/1662020/10/1672020/10/1682．不定积分的运算法则：（1）、两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，即

（2）、求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(k是常数,k≠0)2020/10/169第二节

不定积分的计算

一、换元积分法

1．两类换元法

把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.换元法通常分成两类.2020/10/1610（1）第一类换元法（凑微分法）定理1设f(u)具有原函数,u=(x)可导,则有换元公式2020/10/1611（2）第二类换元法

定理2设是单调的、可导的函数,并且≠0.又设f[]具有原函数，则有换元公式其中是x=的反函数.第二类换元法应满足的条件：应当注意，使用第二换元法时，应满足以下条件：（1）可导，连续且；（2）存在反函数。

2020/10/1612二、分部积分法

设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续的导数，

2020/10/1613三、有理函数积分简介

有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：

一般的，有理真分式的不定积分可按下列三个步骤进行：

2020/10/1614（1）将在实数范围内分解为一次因式与二次因式的乘积，其中，为正整数。

2020/10/1615（2）根据的分解结果，将所给有理分式拆成若干个部分分式之和（这里所指部分分式是分母为一次或二次质因式的正整数次幂），具体做法是：若分母中含有因式，则分解后含有下列k个部分分式之和：；若分母中含有因式，则分解后含有下列个部分分式之和：

其中上面两式中的

均为待定常数，可通过待定系数法求得。

2020/10/1616（3）求出各部分分式的原函数。

2020/10/1617第三节定积分

一、定积分的概念

1．求曲边梯形的面积具体步骤如下：(1)分割(2)近似代替(3)取极限

2020/10/16182．定积分的概念

其中称为被积函数，称为被积表达式，为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间。

2020/10/1619为了以后在计算上方便，作以下两点补充规定(1)定积分上下限互换时，定积分变号，即(2)

2020/10/16203．定积分的几何意义

定积分表示由曲线，直线，及OX轴所围图形各部分面积的代数和．

2020/10/1621二、定积分的性质性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即（为常数）性质2两个可积函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即

2020/10/1622性质3

如果，那么性质4

如果在区间上，恒有，那么

2020/10/1623性质5

如果在区间上有，那么特别地，，则有2020/10/1624性质6

如果函数在区间上的最大值为，最小值为，那么

性质7

（积分中值定理）

如果函数在区间上连续，那么在此区间上至少有一点，使得

成立．

2020/10/162510-4定积分的计算

一、微积分基本公式定义设函数在上连续，x为上任意一点，则由所定义的函数称为积分上限函数。

2020/10/1626定理1如果函数在区间上连续,那么积分上限函数是函数在区间上的一个原函数.即2020/10/1627定理2

如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，那么

此公式叫做牛顿—莱布尼兹（Newton—Leibniz）公式

2020/10/1628二、定积分的换元积分法

定理3设函数在区间上连续，令，如果(1)在区间上是具有连续导数的单值函数；(2)当t在区间上变化时，x在区间上变化，且，那么有换元积分公式

2020/10/1629三、定积分的分部积分法

定理4设函数在区间上具有连续导数，则2020/10/1630四、数值积分法

所谓数值积分法就是利用被积函数在一些点的函数值来近似计算定积分的方法。数值积分法有两种。1．梯形法2．抛物线法

2020/10/1631第五节定积分的应用

一、定积分的元素法在定积分的定义中，我们先把整体量进行分割，然后在局部范围内“以直代曲”，求出整体量在局部范围内的近似值；再把所有这些近似值加起来，得到整体量的近似值，最后当分割无限加密时取极限得定积分（即整体量）。

2020/10/1632二、平面图形的面积

2020/10/1633三、旋转体的体积由曲线和直线及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V

2020/10/1634四、

医学上的应用

1.基础代谢

2.药物的有效度

2020/10/1635五、物理上的应用

1．功

2．液体的静压力

2020/10/1636六、平均值连续函数在区间[a,b]上的平均值,等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分除以区间[a,b]的长度b-a,即

2020/10/1637第六节广义积分

一、广义积分的概念

定义1设函数f(x)在区间[a,+∞]上连续，取b>a，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+

∞]上的广义积分，记作，即=这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。

2020/10/1638二、无界函数的广义积分定义2设函数f(x)在(a,b)上连续，而在点a的右邻域内无界，取，如果极限存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛，否则就称广义积分发散。其中a称为瑕点，此积分也称为瑕积分。2020/10/1639二、概率

1．频率

我们研究随机现象，不仅需要分析它在一定条件下可能发生哪些事件，更重要的是进一步分析各种事件发生的可能性的大小，揭示发生这些事件的内在规律，即统计规律性，为我们的日常生活和工作实际服务。定义1

若在重复n次试验中，随机事件A发生nA次，我们把比率叫做事件A的频率。记作fn（A）。即

2020/10/1640医药工作中通常说的发病率、病死率、出生率、有效率、治愈率等都是频率。显然，频率具有三个性质：对任一事件A，有0≤≤1；必然事件的频率总等于1，记

=1；不可能事件的频率总等于0，记

=0。

2020/10/16412．概率

定义2在同一组条件下所作的大量重复试验中，如果事件A发生的频率总是在一个确定的常数p附近摆动，并且逐渐稳定于p，那么数p就表示事件发生的可能性大小，并称它为事件A的概率，记作P（A），即

2020/10/1642例3用某种药物对患有流感的600个病人进行治病，结果538人有明显疗效，现有某流感病人欲服此药，你对其效果作何估计？因为有明显疗效的频率是，我们近似地把它看成概率，所以，某流感病人若服此药其明显疗效约有89.7%的可能性。

2020/10/16433．概率的性质性质1事件的概率满足0≤P（A）≤1．性质2必然事件的概率是1，即P（）=1；性质3不可能事件的概率是0，即P（）=0．

2020/10/1644第二节概率的古典定义

定义在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件A包含有其中的m个基本事件,称为事件A的概率，记为P（A）＝2020/10/1645这个定义只适用于古典概型，所以称为概率的古典定义，定义本身给出了概率的求法，但n和m的计算要用到排列和组合的知识。例一个笼子内有小白鼠5只，灰鼠3只，现要从中任取2只去做实验，求恰好取到1只白鼠，1只灰鼠的概率。解假设每只鼠被取到的可能性都是相等的，那么现从8只鼠中任取2只，共有种等可能的结果。设任取2只，恰好取到1只白鼠，1只灰鼠为事件A，那么事件A包含的基本事件共有种。

所以事件A的概率P（A）＝＝≈0.54

2020/10/1646第三节概率的加法公式

一、事件的并及互不相容事件1．事件的并

定义1在一次试验中事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件称为事件A与事件B的并（或和），记作A∪B或A＋B。2．互不相容事件（也叫互斥事件）定义2在一次试验中，若事件A、B不能同时发生，则称A、B为互不相容事件。

2020/10/1647为容易理解，我们用图7－2来表示互不相容性，若A、B为互不相容事件，则事件A、B没有相同的基本事件，在图中表现为事件A，B没有公共部分

一般地，在一次试验中，如果n个事件A1，A2，…，An的任何两个事件都不能同时发生，则称事件A1，A2，…，An为两两互不相容事件。

图7-2

2020/10/1648二、互不相容事件的概率的加法公式

一般地，如果事件A1，A2，…，两两互不相容，则有P（）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）上述两个公式称为互不相容事件的概率加法公式。

2020/10/1649例一个口袋中有红球4只，白球7只，黑球6只，黄球5只，从中任取一只，求取出的一只是红球或白球的概率。解设任意取出一只球是红球为事件A，任意取出一只是白球为事件B，则A∪B表示取出的一只是红球或白球的事件。口袋中共有球4＋7＋6＋5＝22只，而红球为4只，白球为7只，所以P（A）＝P（B）＝根据题意，事件A、B为互不相容事件，因此P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝2020/10/1650定义3在一次试验中，如果A、B互不相容，且A∪B＝Ω，则称A、B为互逆事件（简称A，B互逆）事件A的逆事件记作（也可记B＝，或A＝）。

逆事件概率的计算公式P（）＝1－P（A）

2020/10/1651第四节概率的乘法公式

一、事件的交

定义1在一次试验中事件A与事件B同时发生所构成的事件称为事件A与事件B的交（或积）记作A∩B（或A×B），有时也简记为AB。

2020/10/1652二、条件概率与概率乘法公式

在实际问题中，除了要计算A的概率P（A）外，有时还需要计算在“事件B已发生”的条件下，事件A发生的概率，这时用记号P（A|B）表示，由于增加了新的条件：“事件B已发生”，所以称P（A|B）为条件概率。概率的乘法公式

P（AB）=P（A）P（B|A）=P（B）P（A