第一至三章-傅立叶变换M课件

工程数学

-积分变换1明理楼C-140151220722062参考书目

《积分变换》第四版高等教育出版社张元林编(东南大学)《复变函数与积分变换》高等教育出版社王忠仁张静(吉林大学)《复变函数与积分变换》科学出版社盖云英包革军(哈尔滨工业大学)《复变函数与积分变换》机械工业出版社杨巧林

《复变函数与积分变换典型题分析解集》西北工业大学出版社李建林

《高等数学》第四册四川大学版高等教育出版社

《Z变换方法及典型题解分析》宇航出版社汤国熙3本课程要学习的积分变换45积分变换的概念6所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类B中的函数这里是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核．称为的像函数或简称为像，称为的原函数．7（1）特别当核函数称函数为函数的傅里叶（Fourier）变换，简称为函数的傅氏变换．同时我们称为的傅里叶逆变换．当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换:

8（2）特别当核函数称函数为函数的拉普拉斯(Laplace)变换，为函数的拉氏变换．同时我们称为的拉氏逆变换．

9第一章傅里叶变换10111.1傅里叶级数1.1.1

周期函数的傅里叶展开傅里叶级数傅里叶级数展开式傅里叶系数若函数以为周期，即为12的光滑或分段光滑函数，且定义域为，则可取三角函数族(1.1.2)作为基本函数族，将展开为傅里叶级数(1.1.3)13

（1.1.4）周期信号可以表示成余弦形式的简谐振动叠加的数学表达式14利用三角函数族的正交性，可以求得(1.1.3)的展开系数。三角函数族(1.1.2)是正交的．即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即151.1.2奇函数及偶函数的傅里叶展开傅里叶正弦级数傅里叶余弦级数若周期函数

是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式(1.1.4)可见，所有均等于零，展开式(1.1.3)成为

(1.1.5)这叫作傅里叶正弦级数．容易检验（1.1.5）中的正弦级数在处为零．16由于对称性，其展开系数为若周期函数

是偶函数，则由傅里叶系数计算公式可见，所有均等于零，展开式(1.1.3)成为

(1.1.6)这叫作傅里叶余弦级数．17同样由于对称性，其展开系数为

(1.1.7)由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在处为零．而对于定义在有限区间上的非周期函数的傅里叶级数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数．181.1.3复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数取一系列复指数函数

(1.1.8)作为基本函数族，可以将周期函数展开为复数形式的傅里叶级数

(1.1.9)19利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数(1.1.10)上式(1.1.9)的物理意义为一个周期为2l

的函数可以分解为频率为，复振幅为的复简谐波的叠加．称为谱点，所有谱点的集合称为谱．对于周期函数而言，谱是离散的．20尽管是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，且满足：或

(1.1.11)21Fourier级数的几个例题22231.2Fourier积分1.2.1Fourier积分公式主要描述非周期函数(-,+)的傅立叶级数展开其周期T=24由傅里叶级数的复数形式令25由于非周期函数f(t)可以看作周期函数fT(t)当T+时的极限，因此上式中令T+时可看作是f(t)的展开式26

其中模为幅度谱，幅角为位相谱。幅度谱反映了信号在不同频率中所占比重的大小，而位相则反映了信号在不同频率中所在的方位。上面的推导只是形式上的推导，并不严密，一个函数在什么条件下可以用傅立叶积分公式由傅立叶积分定理描述。(后面讲解)

(Fourier积分公式)27281.2.2Fourier积分定理在区间上满足条件（1）在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2）在上绝对可积，则傅立叶积分形式，可表为且在的连续点处傅里叶积分值＝；在间断点处傅里叶积分值＝意义:说明在该条件下非周期函数可以表示成Fourier积分29傅里叶变换

若满足傅氏积分定理条件，称表达式（1.3.1）为的傅里叶变换式,记作．我们称函数为的傅里叶变换，简称傅氏变换1．3傅里叶变换1.3.1傅里叶变换的定义30（或称为像函数）．傅立叶逆变换如果

(1.3.2)则上式为的傅立叶逆变换式，记为我们称为（或称为像原函数或原函数）。的傅立叶逆变换，简称傅氏逆变换31

由（1.3.1）和（1.3.2）知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换，即有

(1.3.3)或者简写为32的傅氏变换如下：它的逆变换公式为：1.3.3傅里叶变换的三种定义式

1.3.2多维傅氏变换在多维（维）情况下，完全可以类似地定义函数33

在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互转换，特给出如下关系式：第一种定义式2.第二种定义式343.第三种定义式三者之间的关系为三种定义可统一用下述变换对形式描述35特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如

，读者应能理解．本书采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义,若未特殊申明，均使用第二种定义式．3637当函数无法积分时，后面会讲到函数概念和性质38

傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系．频谱这个术语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质.光学中的（傅立叶透镜）1.4傅里叶变换式的物理意义—频谱39若已知是以为周期的周期函数，且满足狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数。(1.4.1)称为的第次谐波，称为第次谐波的频率．40由于其中称为初相，称为第次谐波的振幅，记为，即（1.4.2）4142若将傅里叶级数表示为复数形式，即

(1.4.3)第n次谐波表示为43其中恰好是次谐波的振幅的一半.我们称为复振幅。显然次谐波的振幅与复振幅有下列关系：44（1.4.4）当取这些数值时，相应有不同的频率和不同的振幅，所以式(1.4.4)描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况．频谱图通常是指频率和振幅的关系图.

称为函数的振幅频谱（简称频谱）.若用横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，把点45用图形表示出来，这样的图形就是频谱图.由于

,所以频谱不连续的，称之为离散频谱．的图形是为离散频率．464748495051525354第二章傅立叶变换的性质

1.线性性质2.位移性质3.微分性质4.积分性质5.相似性质(伸缩性质)6.乘积性质7.卷积性质8.相关函数551.线性性质562.位移性质5758593.微分性质6061624.积分性质635.相似性质(伸缩性质)646.乘积性质65667.卷积性质676869707172738.相关函数

(在图像特征识别中具有重要应用)

1.互相关-描述两个信号存在多少相似性或关联性的量度2.自相关-自相关是两个相同函数图像重叠程度的量度747576函数及其Fourier变换函数的概念7778函数的表示函数是广义函数，没有普通意义下的函数值，所以不能用通常意义下值的对应关系来定义。为了方便，我们把函数看作是弱收敛函数序列的弱极限。7980几种表示函数的函数序列及其极限8182函数的性质1.筛选性质：832.可分离变量：843.乘法性质：

4.坐标缩放：a,b为任意实常数85

5.微分性质：86

6.卷积性质

7.其它重要性质87函数的傅立叶变换88函数的傅立叶变换图示89与函数相关的几种特殊函数的傅立叶变换

1）.直流信号90

2）.奇对称单位阶跃信号91

3）.单位阶跃信号92

4.余弦信号93第三章傅立叶变换的应用

1.傅立叶变换在解微、积分方程中的应用

2.傅立叶变换在电子工程中的应用94951.在解微、积分方程中的应用96972.傅立叶变换在电子工程中的应用982.1线性电路2.1.1概念992.2