误差的合成与分配

误差的合成与分配第1页，课件共49页，创作于2023年2月2间接测量的概念(1)直接测量——无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到被测量值的测量。

例如用游标卡尺测量零件直径。(2)间接测量——实测的量与被测的量之间有已知函数关系，通过计算而得到被测量值的测量。例如通过测量圆柱体的圆周长度L，通过关系式D=L/π，得到所求的零件直径D。间接测量误差是各个直接测量值误差的函数，称这种误差为函数误差。第2页，课件共49页，创作于2023年2月3第一节函数误差一、函数系统误差计算

设间接测量中间接测量值y是各个直接测量量xi的多元函数，其表达式为式中－间接测量值－各个直接测量值。可知第3页，课件共49页，创作于2023年2月4若已知各个直接测量值的系统误差可近似得到函数的系统误差为

称为第i个直接测量值的误差传递系数。

注意：这里讲的是函数系统误差计算，各个直接测量值的系统误差对函数总误差的贡献基本是代数和的形式。第4页，课件共49页，创作于2023年2月5几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当

当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和第5页，课件共49页，创作于2023年2月6【例6-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。

【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第6页，课件共49页，创作于2023年2月7车间工人测量弓高、弦长的系统误差直径的系统误差

故修正后的测量结果计算过程（求修正后的测量结果）：误差传播系数为若直接用h=50.1和L=499计算得：1292.62mm。第7页，课件共49页，创作于2023年2月8二、函数随机误差的计算

设间接测量中，间接测量值y是各个直接测量量xi的多元函数，其表达式为下面来推导间接测量时函数随机误差的计算公式：

设对各个直接测量值xi皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为第8页，课件共49页，创作于2023年2月9可得函数y的随机误差为将上式每个方程平方得:第9页，课件共49页，创作于2023年2月10将上式相加第10页，课件共49页，创作于2023年2月11上式各项除以N得:第11页，课件共49页，创作于2023年2月12则可得：第12页，课件共49页，创作于2023年2月13当各测量值的随机误差是相互独立的，且N适当大时，相关项即相关系数上式可化简为第13页，课件共49页，创作于2023年2月14所以,当各测量值的随机误差相互独立时，函数随机误差的计算式为：第14页，课件共49页，创作于2023年2月15回到本章开始的例子用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V及标准差。直径d10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h10.10510.11510.11510.11010.11010.105解：第15页，课件共49页，创作于2023年2月16按贝塞尔式计算和的标准差分别为第16页，课件共49页，创作于2023年2月17又例：系统误差的发现方法中，

算术平均值的差值与标准差比较法中有计算公式，两组算术平均值之差为：当时讲：可以证明两算术平均值之差的方差为：

（现利用函数随机误差计算方法来证明）第17页，课件共49页，创作于2023年2月18三、相关系数（标准协方差）相关系数（标准协方差）是表达两维随机变量（ξ,η）相互依赖性的数字特征，若ξ,η是不相互独立的随机变量，定义：第18页，课件共49页，创作于2023年2月19实际工作中相关系数的确定1.直接判断法：根据专业知识来进行判断；2.实验观察和简略计算法：（1）观察法第19页，课件共49页，创作于2023年2月20（2）简单计算法（3）直接计算法3.理论计算法第20页，课件共49页，创作于2023年2月21第二节随机误差的合成误差合成就是在正确地分析和综合误差因素的基础上，正确地表述这些误差的综合影响。

标准差合成

极限误差合成随机误差的合成形式包括：第21页，课件共49页，创作于2023年2月22一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差误差传播系数由间接测量的显函数模型求得根据实际经验给出知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第22页，课件共49页，创作于2023年2月23二、极限误差合成

单项极限误差:

单项随机误差的标准差单项极限误差的置信系数合成极限误差:

合成标准差合成极限误差的置信系数合成极限误差计算公式第23页，课件共49页，创作于2023年2月24根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数、

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同ij为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：第24页，课件共49页，创作于2023年2月25当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q较多、各项误差大小相近和独立时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，是较为广泛使用的极限误差合成公式此时第25页，课件共49页，创作于2023年2月26第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：合成方法：按照代数和法进行合成i为第i个系统误差，ai为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除！第26页，课件共49页，创作于2023年2月27二、未定系统误差的合成

（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围e的系统误差。特征：1）

在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性。2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概论分布，具有随机误差的特性。第27页，课件共49页，创作于2023年2月281、标准差合成（二）未定系统误差的合成未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，完全可以采用随机误差的合成公式。

同随机误差的合成类似，未定系统误差合成时可以按照标准差合成，也可以按照极限误差的形式合成。若测量过程中有s

个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u

为:第28页，课件共49页，创作于2023年2月29则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，ij

为第i个和第j个误差项的相关系数当ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第29页，课件共49页，创作于2023年2月30或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：第30页，课件共49页，创作于2023年2月31第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

误差的合成可按照两种形式合成：按极限误差误差形式合成、按标准差形式合成。测量过程中，假定有r

个单项已定系统误差，s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。第31页，课件共49页，创作于2023年2月32当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n

次重复测量情况当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有低偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第32页，课件共49页，创作于2023年2月33【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量，求测量结果的标准差。(1)随机误差:天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:天平称量时所用的标准砝码有三个，即10g的一个，2g的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：第33页，课件共49页，创作于2023年2月34②天平示值误差该项标准差为:最后测量结果应表示为（１倍标准差）：

第34页，课件共49页，创作于2023年2月35第五节误差分配误差分配

给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：若已经给定，如何确定Di

或相应的i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差第35页，课件共49页，创作于2023年2月36一、按等影响原则分配误差等作用原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：或用极限误差表示：函数的总极限误差各单项误差的极限误差进行误差分配时，一般应按照下述步骤：第36页，课件共49页，创作于2023年2月37(1)造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。按等影响原则分配误差的不合理性

(2)所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第37页，课件共49页，创作于2023年2月38

测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D

及高度

h，根据函数式误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。【例】求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，，试确定直径D及高度h的测量精度。三、验算调整后的总误差

第38页，课件共49页，创作于2023年2月39一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径D

与高度h的极限误差:【解】计算体积体积的绝对误差:第39页，课件共49页，创作于2023年2月40用这两种量具测量的体积极限误差为因为查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。二、调整后的测量极限误差

显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。第40页，课件共49页，创作于2023年2月41调整后的实际测量极限误差为因为因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。第41页，课件共49页，创作于2023年2月42第六节微小误差的取舍原则将其中的部分误差Dk取出后，则得若有则称部分误差Dk为微小误差，可以舍去。

有的误差对测量结果总误差影响很小。当这种误差小到一定程度，计算测量结果总误差时可舍去。什么程度可以舍去？第42页，课件共49页，创作于2023年2月43

根据有效数字运算准则，对一般测量，测量误差取一位有效数字，若舍去某误差后，它的影响达到以下要求，则该项误差为微小误差：解上式第43页，课件共49页，创作于2023年2月44对于比