03曲面及其方程、二次曲面

高等数学北京工商大学杨益民7/19/20231第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念一般地，若曲面S与三元方程F(x,y,z)=0满足：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0；则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程F(x,y,z)=0的图像。两个基本问题：（2）已知F(x,y,z)=0，问它表示什么曲面？（1）已知曲面S，求曲面方程F(x,y,z)=0？7/19/20232一些特殊平面例3

方程表示什么图形？用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）例1

求球心在点半径为R的球面方程。例2

已知空间两点A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求线段AB的垂直平分面的方程。一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）表示空间的一张球面。7/19/20233例4

方程的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底。解7/19/20234二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。播放7/19/20235例5

证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线为母线所产生的旋转曲面S的方程为：证明：旋转曲面如图设M(x,y,z)为旋转曲面S上任意一点，显然，M一定是由母线C上某点M1(0,y1,z1)旋转得到，(0,0,z)代入母线方程即得证明。即7/19/20236注意：1.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面2.yoz平面上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面3.xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面7/19/20237例6求xoz坐标面的上双曲线C：分别绕x轴和z轴旋转双曲面解：一周生成的旋转曲面的方程。直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。7/19/20238解:

圆锥面方程例7

试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α的圆锥面方程。圆锥面的母线方程为7/19/20239播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。7/19/202310柱面举例抛物柱面平面7/19/202311一般地，已知准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。一般地，在空间直角坐标下（缺z），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺y），表示母线∥？，准线为？的柱面。（缺x），表示母线∥？，准线为？的柱面。7/19/202312问：（1）表示什么曲面？（2）表示什么曲面？回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。3.表示空间的一张平面。4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面7/19/202313四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的柱面方程为：7/19/202314（一）椭球面椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与平面的交线为椭圆同理与平面x=x1和y=y1

的交线也是椭圆7/19/202315椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆或绕z轴旋转而成。球面方程可写为7/19/202316（二）抛物面（p与q同号）（1）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面xoy

(z=0)去截；设p与q都大于零。（2）用平面去截；（3）用坐标面xoz

或yoz

去截；（4）用平面去截；yoxz7/19/202317zxyo椭圆抛物面的图形如下：xyzo特殊地：当p=q时，方程变为旋转抛物面7/19/202318（2）双曲抛物面（马鞍面）(p与q同号)用截痕法讨论：设xzyo7/19/202319（三）双曲面单叶双曲面xyoz（1）zoxy.7/19/202320双叶双曲面xyo（2）xoyz7/19/202321习题8－34，5，7，8，9，10，117/19/202322二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202323二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202324二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202325二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202326二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202327二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202328二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202329二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202330二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。7/19/202331二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲