【解析】北师大版数学九年级上册同步练习-第二章《一元二次方程》4 用因式分解法求解一元二次方程

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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》4用因式分解法求解一元二次方程

一、选择题

1．（2023·广东模拟）一元二次方程x2-4x=12的根是()

A．x1=2，x2=-6B．x1=-2，x2=6

C．x1=-2，x2=-6D．x1=2，x2=6

【答案】B

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：由x2-4x=12得，x2-4x-12=0，

因式分解得，（x+2）（x-6）=0，

∴x+2=0，或x-6=0

∴x1=-2，x2=6

故答案为：B

【分析】先移项，把方程变成一般式，再利用十字相乘方法分解因式，可得结果；也可以用配方法、公式法得到方程的解。

2．（2023·临安模拟）方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】B

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，

∴（x-2）（x-2-2x）=0

x-2=0或-x-2=0，

解之：x1=2，x2=-2.

故答案为：B

【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.

3．（2023八下·莱西期中）方程的根是（）

A．1B．0C．0或1D．0或-1

【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵

∴，

∴或，

解得：或，

故答案为：C．

【分析】将原式变形为，再求解即可。

4．（2023八下·瓯海期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（）

A．5和B．C．5D．﹣5和

【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），

∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0，

∴（x﹣5）（2x+1）＝0，

∴x1＝5，x2＝﹣.

故答案为：A.

【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得(x-5)(2x+1)=0，据此求解.

5．（2023·泉州模拟）一元二次方程的解是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

移项，

提取公因式，，整理得，，

∴，

故答案为：D.

【分析】首先移项，然后分解因式可得x[(x-3)-1]=0，据此求解.

6．（2023九下·沭阳月考）方程的根是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

或，

，

故答案为：C.

【分析】根据方程可得x=0或x-1=0，求解即可.

7．（2023九上·福州模拟）方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵，

∴或，

∴，.

故答案为：C.

【分析】由方程可得x-1=0或x+2=0，求解可得x的值.

8．（2023九上·凤翔期末）关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（）

A．-3或4B．或7C．3或4D．3或7

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是4，

∴，

即，

即

解得，

故答案为：B.

【分析】根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.

二、填空题

9．关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是．

【答案】

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，

∴(x+3)(x+a+1)=0，

∴x+3=0或x+a+1=0，

∴x=-3或x=-a-1.

∵方程有一个大于-2的非正数根，

∴-2<-a-1≤0，

∴-1≤a<1.

故答案为：-1≤a<1.

【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.

10．（2023八下·缙云期中）方程的解为

【答案】，

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，

移项，得x(x-2)-（x-2）=0，

∴（x-2）（x-1）=0，

∴x-2=0或x-1=0，

解得：x1=2，x2=1.

故答案为：x1=2，x2=1.

【分析】将x-2看成一个整体，将方程右边的项移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.

11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是．

【答案】①③

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；

②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；

③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，

将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，

∴4a-2b+c=-2，故③正确.

故答案为：①③.

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.

12．（2023八下·鄞州期中）若方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是

【答案】x1=-1．x2=-3

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，

∴2x+3=1，2x+3=-3，

解之：x1=-1．x2=-3

故答案为：x1=-1．x2=-3

【分析】将2x+3看着整体，利用方程x2+2x-3=0的解可得到2x+3=1，2x+3=-3，然后求出x的值.

13．（2023八下·瑞安期中）方程的解是.

【答案】，

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴，

∴或，

解得：，.

【分析】观察已知的方程，可提公因式x将原方程化为两个一元一次方程，解方程可求解.

14．（2023八下·鹿城月考）一元二次方程的解是

【答案】

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=0，

∴x-3=0或x+2=0，

解得x1=3，x2=-2.

故答案为：x1=3，x2=-2.

【分析】根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.

三、解答题

15．（2023八下·滨江期中）下面是小明解一元二次方程的过程：

解：原方程可化为，……第一步

方程两边同除以得，，……第二步

系数化为1得

小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程

【答案】解：不正确，错误出现在第二步，

当时，丢掉根，

正确解法为：

原方程可化为，，

移项得，，

分解因式得，，

∴，或，

∴原方程的解为，，.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】不正确，错误出现在第二步，出错的原因是当x-5=0时，方程丢掉了根x=5；将方程的右边提取负号变形为2x（x-5）=-3（x-5），然后将方程的右边整体移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程求出x的值，即可得出原方程的根.

16．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．

材料：解含绝对值的方程：．

解：分两种情况：

（1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；

（2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．

综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．

【答案】解：分两种情况讨论：

（1）当时，原方程可化为

解得：，（舍去）；

（2）当时，原方程可化为

解得：，（舍去）；

∴综上所述，原方程的根是，．

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】参考题干阅读材料提供的方法分当x≥0时与x＜0时两种情况，分别化简绝对值，进而根据因式分解法求出分别求出方程的解，再检验即可得出答案.

17．（2023九上·长子期末）解方程：3x＋6＝（x＋2）2

【答案】解：∵，

∴，

∴，

∴，即，

∴．

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】利用因式分解法求解一元二次方程即可。

18．（2022九上·自贡期末）解方程：.

【答案】解：

∴，

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】将“y+2”看成一个整体，将方程右边的2移到方程的左边，发现方程的左边易于利用提取公因式法分解因式，故此题利用因式分解法求解即可.

19．（2023·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．

【答案】解：

化简得：

因式分解得：

所以，．

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】利用因式分解法解方程即可。

20．（2023九上·兰州期末）解方程：

【答案】解：方程整理得：

，

分解因式得：

，

可得或，

解得：，.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】首先对右边的式子因式分解，然后移至等号左边，发现含有公因式(2x+1)，提取公因式可得(3x-2)(2x+1)=0，据此求解.

21．（2023九上·合肥期末）用适当的方法解下列方程：

【答案】解：

移项，得，即

因式分解得

于是得或

解得

故原方程的解为．

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【分析】先移项，再利用因式分解法解方程即可．

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北师大版数学九年级上册同步练习——第二章《一元二次方程》4用因式分解法求解一元二次方程

一、选择题

1．（2023·广东模拟）一元二次方程x2-4x=12的根是()

A．x1=2，x2=-6B．x1=-2，x2=6

C．x1=-2，x2=-6D．x1=2，x2=6

2．（2023·临安模拟）方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

3．（2023八下·莱西期中）方程的根是（）

A．1B．0C．0或1D．0或-1

4．（2023八下·瓯海期中）方程x（2x+1）＝5（2x+1）的根是（）

A．5和B．C．5D．﹣5和

5．（2023·泉州模拟）一元二次方程的解是（）

A．B．C．D．

6．（2023九下·沭阳月考）方程的根是（）

A．B．

C．D．

7．（2023九上·福州模拟）方程的解是（）

A．，B．，

C．，D．，

8．（2023九上·凤翔期末）关于x的方程的一个根是4，那么m的值是（）

A．-3或4B．或7C．3或4D．3或7

二、填空题

9．关于的一元二次方程有一个大于的非正数根，那么实数的取值范围是．

10．（2023八下·缙云期中）方程的解为

11．（2023八下·缙云期中）对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是．

12．（2023八下·鄞州期中）若方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，则方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是

13．（2023八下·瑞安期中）方程的解是.

14．（2023八下·鹿城月考）一元二次方程的解是

三、解答题

15．（2023八下·滨江期中）下面是小明解一元二次方程的过程：

解：原方程可化为，……第一步

方程两边同除以得，，……第二步

系数化为1得

小明的解答是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请指出从第几步开始出现错误，分析出现错误的原因，并写出正确的解答过程

16．（2022九上·道县期中）阅读下面的材料，并完成相应的任务．

材料：解含绝对值的方程：．

解：分两种情况：

（1）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）；

（2）当时，原方程可化为：，解得，（舍去）．

综上所述：原方程的解是，．任务：请参照上述方法解方程：．

17．（2023九上·长子期末）解方程：3x＋6＝（x＋2）2

18．（2022九上·自贡期末）解方程：.

19．（2023·龙沙模拟）解方程：（2x﹣1）2＝3x2+6．

20．（2023九上·兰州期末）解方程：

21．（2023九上·合肥期末）用适当的方法解下列方程：

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：由x2-4x=12得，x2-4x-12=0，

因式分解得，（x+2）（x-6）=0，

∴x+2=0，或x-6=0

∴x1=-2，x2=6

故答案为：B

【分析】先移项，把方程变成一般式，再利用十字相乘方法分解因式，可得结果；也可以用配方法、公式法得到方程的解。

2．【答案】B

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：将方程转化为（x-2）2-2x（x-2）=0，

∴（x-2）（x-2-2x）=0

x-2=0或-x-2=0，

解之：x1=2，x2=-2.

故答案为：B

【分析】观察方程特点：方程两边含有公因式（x-2），因此利用因式分解法解方程.

3．【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵

∴，

∴或，

解得：或，

故答案为：C．

【分析】将原式变形为，再求解即可。

4．【答案】A

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵x（2x+1）＝5（2x+1），

∴x（2x+1）﹣5（2x+1）＝0，

∴（x﹣5）（2x+1）＝0，

∴x1＝5，x2＝﹣.

故答案为：A.

【分析】首先将右边的式子移至左边，然后分解因式可得(x-5)(2x+1)=0，据此求解.

5．【答案】D

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：

移项，

提取公因式，，整理得，，

∴，

故答案为：D.

【分析】首先移项，然后分解因式可得x[(x-3)-1]=0，据此求解.

6．【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

或，

，

故答案为：C.

【分析】根据方程可得x=0或x-1=0，求解即可.

7．【答案】C

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵，

∴或，

∴，.

故答案为：C.

【分析】由方程可得x-1=0或x+2=0，求解可得x的值.

8．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵关于x的方程的一个根是4，

∴，

即，

即

解得，

故答案为：B.

【分析】根据方程根的概念，将x=4代入方程中可得关于m的方程，求解可得m的值.

9．【答案】

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵x2+(a+4)x+3a+3=0，

∴(x+3)(x+a+1)=0，

∴x+3=0或x+a+1=0，

∴x=-3或x=-a-1.

∵方程有一个大于-2的非正数根，

∴-2<-a-1≤0，

∴-1≤a<1.

故答案为：-1≤a<1.

【分析】对方程因式分解可得(x+3)(x+a+1)=0，则x=-3或x=-a-1，由方程有一个大于-2的非正数根可得-2<-a-1≤0，求解即可.

10．【答案】，

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：x(x-2)=x-2，

移项，得x(x-2)-（x-2）=0，

∴（x-2）（x-1）=0，

∴x-2=0或x-1=0，

解得：x1=2，x2=1.

故答案为：x1=2，x2=1.

【分析】将x-2看成一个整体，将方程右边的项移到方程的左边，进而将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.

11．【答案】①③

【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】解：①∵b2-4ac=0，∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，故①正确；

②∵一元二次方程ax2+bx+c=k，最多有两个解，故②错误；

③∵方程（x+2）（x-3）=0的解为x1=-2，x2=3，

将x=-2代入ax2+bx+c+2=0得4a-2b+c+2=0，

∴4a-2b+c=-2，故③正确.

故答案为：①③.

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此可对①进行判断；根据一元二次方程的对称性对②进行判断；根据一元二次方程解的定义对③进行判断.

12．【答案】x1=-1．x2=-3

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵方程x2+2x-3=0的解为x1=1，x2=-3，方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，

∴2x+3=1，2x+3=-3，

解之：x1=-1．x2=-3

故答案为：x1=-1．x2=-3

【分析】将2x+3看着整体，利用方程x2+2x-3=0的解可得到2x+3=1，2x+3=-3，然后求出x的值.

13．【答案】，

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：，

∴，

∴或，

解得：，.

【分析】观察已知的方程，可提公因式x将原方程化为两个一元一次方程，解方程可求解.

14．【答案】

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【解析】【解答】解：∵（x-3）（x+2）=0，

∴x-3=0或x+2=0，

解得x1=3，x2=-2.

故答案为：x1=3，x2=-2.

【分析】根据两个因式的乘积等于0，则至少有一个因式为0，可将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可得出原方程的解.

15．【答案】解：不正确，错误出现在第二步，

当时，丢掉根，

正确解法为：

原方程可化为，，

移项得，，

分解因式得，，

∴