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文档简介
线性代数昆明理工大学数学系
2009.122第三章
n
维向量空间主要内容：向量的定义和运算向量组的线性相关性向量组的秩向量空间的基本概念3第一节n维向量及其运算向量的定义向量的运算一.
向量的定义定义1.n个有次序的数
a1
,
a2
,
...,
an
所组成的数组称为n维向量，记作a
=
(a1
,
a2
,
...,
an
)其中每一个数称为分量，第i个数ai
称为第i个分量，
分量为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。本书主要讨论实向量。全体n维实向量记作Rn二维、三维向量就是平面上及空间中的几何向量，其分量就是向量在坐标轴上的投影。当n
>3
时，向量就没有直观的几何意义了。称其为向量，是因为它与二、三维几何向量在许多性质上有相似之处。今后我们用小写的希腊字母a
,b
,g...代表向量。以下是一些向量的例子：a
=
(1,
2,
3)b
=
(4,
1)g
=
(1,
0,
1,
0,
0,
2)（三维向量）（二维向量）（六维向量）二.
向量的运算定义2.
设有两个向量a
=
(a1
,
a2
,...,an
)b
=
(b1
,b2
,...,
bn
)如果a
与b
的各分量对应相等，则称a
与b
相等，记做a
=
b即a
=
b
ai
=
bi
(i
=
1,
2,...,
n)例如，a
=
(-2,
2,5),
b
=
(
x1
+
x2
,
x2
+
x3
,
x3
+
x1
)
，则a
=
bx1
+
x2
=
-2x2
+
x3
=
2x3
+
x1
=
5定义3.
设有两个向量a
=
(a1
,
a2
,...,an
)
b
=
(b1
,b2
,...,
bn
)k为数，定义加法及数乘运算如下：加法：a
+b
=(a1
+b1
,a2
+b2
,...,an
+bn
)数乘：ka
=(ka1
,ka2
,...,kan
)向量的加法及数乘运算称为向量的线性运算。记-a
=
(-a1
,-a2
,...,-an
)称为a
的负向量。而a
-
b
=
a
+
(-b
)
=
(a1
-
b1
,
a2
-
b2
,...,an
-
bn
)称为a
与b
的差。各分量都等于0的向量称为零向量，记作0，即0
=
(0,0,...,0)（等式左边的0是零向量，右边分量中的0是数零，我们已经用“0”代表数零、零矩阵、零向量，以后从上、下文不难分辨清楚。）向量的加法及数乘运算，有以下性质（设a
,b
,g为向量，k1
,
k2
,
k
为数。）（1）
a
+
b
=
b
+
a（2）
(a
+
b
)
+
g
=
a
+
(b
+
g)（3）
a
+
0
=
a（4）
a
+
(-a
)
=
0（5）(k1k2
)a
=
k1
(k2a
)（6）(k1
+
k2
)a
=
k1a
+
k2a（7）k(a
+
b
)
=
ka
+
kb（8）
1
a
=
a此外，还有数乘的以下性质：(－1)a
=－a0
a
=
0k
0
=
0k
„
0,
a
„
0
ka
„
0最后这个性质证明如下：若
k
„
0,
a
=
(a1
,
a2
,
...,
an
)
„
0则有某个分量
ai
„
0
，于是
kai
„
0,
从而ka
=
(ka1
,...,
kai
,...,
kan
)
„
0以上我们将向量记成一行，称为行向量，n维向量也可以记成一列
a1
a
2
a
=
...
a
n
称为列向量。为节省篇幅，列向量常记作行向量的转置：a
=
(a
,
a
,
...,
a
)T1
2
n从上面的定义可以看出，维向量的相等及加法、数乘运算与矩阵的相等及加法、数乘运算的定义相同。今后我们
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