2022-2023学年湖南省岳阳市云溪区第一中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省岳阳市云溪区第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法的程序框图如图所示，若输入的a0，a1，a2，…，an分别为0，1，2，…，n，若n=5，根据该算法计算当x=2时多项式的值，则输出的结果为（）A．248 B．258 C．268 D．278参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能求出当x=2时的值，即可得解．【解答】解：该程序框图是计算多项式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x当x=2时的值，而f（2）=258，故选：B．2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，，则数列{an}的公差为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意，，故，故，故，故选：D．【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.3.复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则()．A．－2i

B．－i

C．i

D．2i参考答案：B4.二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）A．28 B．﹣7 C．7 D．﹣28参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：二项式（﹣）8的展开式的通项公式为Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??2r﹣8?，令8﹣=0，解得r=6，故展开式中常数项是?2﹣2=7，故选C．5.运行如图所示的程序框图，当输入时，输出的x为（

）A．

B．2

C．

D．参考答案：D6.设集合，集合，则=（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.已知且f（0）=2，f（﹣1）=4，则f（f（﹣2））=（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣3参考答案：A【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题；33：函数思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．【分析】由f（0）=2，f（﹣1）=4，列出方程组，求得a=，b=1，从而，进而f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10），由此能求出结果．【解答】解：∵且f（0）=2，f（﹣1）=4，∴，解得a=，b=1，∴，∴f（﹣2）=（）﹣2+1=10，f（f（﹣2））=f（10）=﹣lg10=﹣1．故选：A．8.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）

A．

B．1

C．

D．参考答案：D略9.设函数，则函数是（

） A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数。参考答案：B略10.一组数据由小到大依次为。已知这组数据的中位数为6，若要使其标准差最小，则的值分别为（

）A．3，9 B．4，8 C．5，7 D．6，6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为第二象限角，若，则=

．参考答案：12.设变量x，y满足约束条件：.则目标函数z=2x+3y的最小值为

.参考答案：略13.体积为27的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的半径为_________.参考答案：试题分析：正方体棱长为，则，，．故答案为．考点：正方体与外接球．14.如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF?平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：【点评】本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．15.直线的方向向量与x轴的正方向上的单位向量的夹角是_

。参考答案：1200或60016.关于的不等式（）的解集为

．参考答案：17.在平面直角坐标系中，若不等式组（k为常数）表示的平面区域D的面积是16，那么实数k的值为；若P（x，y）为D中任意一点，则目标函数z=2x﹣y的最大值为．参考答案：3,9.【考点】简单线性规划．【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由可行域面积列式求得k值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得C（﹣1，1），联立，解得A（k，﹣k），联立，解得B（k，k+2），由（2k+2）（k+1）=16，解得：k=3；∴A（3，﹣3），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，由图可知，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：3，9．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4-1:几何证明选讲.如图，过圆E外一点A作一条直线与圆E交B,C两点，且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F，连接EF交BC于点D,己知圆E的半径为2，=30.(1)求AF的长.(2)求证：AD=3ED.参考答案：(1)延长交圆于点，连结，则，又，，所以，又，可知.所以根据切割线定理，即.

(2)过作于，则与相似，从而有，因此.

19.如图,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分别为的中点.(Ⅰ)证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；(Ⅱ)设AB=1,,求二面角A1—AD—C1的大小.

参考答案：证明：(Ⅰ)设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOì面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分解：（Ⅱ）连接A1E，由AB=1,AA1＝AC＝可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDì平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．由已知AB＝ED=1,AA1＝AC＝，∴AE=A1E=1，EF＝＝，tan∠A1FE＝=，∴∠A1FE＝60°．所以二面角A1－AD－C1为60°．20.已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：（Ⅰ）解：由，

得.

………2分依题意△是等腰直角三角形，从而，故.

………4分所以椭圆的方程是.

………5分（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得.

………7分所以，.

………8分若平分，则直线，的倾斜角互补，所以.

……9分设，则有.将，代入上式，整理得，所以.

……………12分将，代入上式，整理得.

…………13分由于上式对任意实数都成立，所以.

综上，存在定点，使平分.

………14分略21.设函数，.（1）证明：.（2）若对所有的，都有,求实数a的取值范围.参考答案：22.设点在圆上，直线上圆在点处的切线，过点作圆的切线与交于点．（Ⅰ）证明为定值，并求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）设过点的直线与曲线分别交于和，且，求四边形