2022-2023学年湖南省常德市镇泰中学高二数学理期末试卷含解析

2022-2023学年湖南省常德市镇泰中学高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的定义域为，，对任意，，则的解集为(

)

A．（，1）

B．（，+）

C.（，）

D.（，+）参考答案：B略2.已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则(

).

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C略3.若是真命题，是假命题，则

(

)A.是真命题

B.是假命题C.是真命题

D.是假命题参考答案：A略4.直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)

B.∪

C.

D.∪参考答案：B略5.A、B两点相距，且A、B与平面的距离分别为和，则AB与平面所成角的大小是（

） A.30° B.60° C.90° D.30°或90°参考答案：D6.在的展开式中，的幂指数是整数的项共有(

)

A3项

B4项

C5项

D6项参考答案：C略7.已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=ax的焦点重合，则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长度为（）A．4 B．5 C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点，即为抛物线的焦点，求得a=12，可得抛物线的准线方程，代入双曲线方程，即可得到弦长．【解答】解：双曲线=1的右焦点为（3，0），则抛物线y2=ax的焦点为（3，0），即有=3，解得，a=12，则抛物线的准线为x=﹣3，将x=﹣3代入双曲线方程，可得y2=5×（﹣1）=，解得，y=．则截得的弦长为5．故选B．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．8.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为A.1

B.

C.

D.3参考答案：C略9.已知方程在(0,16]上有两个不等的实数根，则实数m的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，利用导数研究函数在的值域即可解决问题。【详解】由于恒成立，构造函数，则方程在上有两个不等的实数根等价于函数在上有两个不同的零点，则，（1）当时，则上恒成立，即函数在上单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；（2）当时，令，解得：，令，解得：或，故的单调增区间为，的单调减区间为，①当，即时，则在单调递增，当时，，，根据零点定理可得只有唯一零点，不满足题意；②当，即时，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，，，，故要使函数在上有两个不同的零点，则，解得：；综上所述：方程在上有两个不等的实数根，则实数的取值范围为：故答案选C【点睛】本题考查方程根的个数问题，可转为函数的零点问题，利用导数讨论函数的单调区间以及最值即可解决问题，有一定的综合性，属于中档题。10.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.向量的夹角等于，则的最大值为．参考答案：4考点： 数量积表示两个向量的夹角．

专题： 平面向量及应用．分析： 由已知得到的坐标，然后由数量积的对于求之．在平面直角坐标系中，标出与对应的点，构造出三角形后运用余弦定理得关于向量的模的方程，由判别式大于等于0可得||的最大值．解答： 解：如图，设=，=，则=，与的夹角等于，即∠OBA=60°，再设||=a，||=x，在△OAB中，根据余弦定理有：22=a2+x2﹣2×ax×cos，整理得：x2﹣ax+a2﹣4=0，由（﹣a）2﹣4（a2﹣4）≥0，得：a2≤16，所以0＜a≤4．所以||的最大值为4．点评： 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，考查了方程思想，考查了数形结合思想，是中档题12.已知平面上两点，若曲线上存在点使得，则称该曲线为“曲线”，下列曲线中是“曲线”的是_____________(将正确答案的序号写到横线上)①

②

③

④

.参考答案：②④13.如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F且EF=，则下列结论中正确的有．（1）AC⊥AE；（2）EF∥平面ABCD；（3）三棱锥A﹣BEF的体积为定值：（4）异面直线AE，BF所成的角为定值．参考答案：（2）（3）【考点】棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直证得两线垂直判断（1）；由线面平行的定义证得线面平行判断（2）；由棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值判断（3）；由两个极端位置说明两异面直线所成的角不是定值判断（4）．【解答】解：对于（1），由题意及图形知，AC⊥AE，故（1）不正确；对于（2），由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，故正确；对于（3），由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故正确；对于（4），由图知，当F与B1重合时，与当E与D1重合时，异面直线AE、BF所成的角不相等，故不为定值，故错误．∴正确命题的序号是（2）（3）．故答案为（2）（3）．【点评】本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的关键，是中档题．14.i是虚数单位，若复数z=（m2﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数，则实数m的值为

．参考答案：﹣1【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得实数m的值．【解答】解：∵复数z=（m2﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2﹣1=0，m﹣1≠0，解得m=﹣1，故答案为﹣1．15.在△ABC中，D为BC的中点，则=（+）将命题类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则=

．参考答案：（++）考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：由条件根据类比推理，由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题．解答：解：由“△ABC”类比“四面体A﹣BCD”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++），故答案为：在四面体A﹣BCD中，G为△BCD的重心，则有=（++）．点评：本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题．16.一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为

．参考答案：6【考点】球的体积和表面积．【专题】常规题型；计算题．【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πR2．∴R=6．故答案为：6【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，解题的关键是对球的体积公式和表面积公式的掌握程度，是基础题．17.已知平面向量满足，且，则________参考答案：【分析】由已知可求，然后结合向量的数量积的性质|，代入即可求解．【详解】∵，∴，∵，，，则，故答案为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.：使得成立；：方程有两个不相等正实根；（1）

写出；（2）

若命题为真命题，求实数的取值范围；(3)

若命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围.参考答案：（1）：成立.

（2）时不恒成立.

由得.

（3）设方程两个不相等正实根为、命题为真

由命题“或q”为真，且“且q”为假，得命题、q一真一假①当真假时，则得②当假真时，则无解；

∴实数的取值范围是.略19.（本题14分）△中，，，，三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到旋转体．（1）求半圆的半径（2）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（3）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．参考答案：（1）连接，则，

----------（2分）设，则，在中，，

所以

——（3分）（2）∵球的表面积

——（3分）[]（3）中，，,，，

--------（3分）---（3分）20.在数学必修3模块修习测试中,某校有1000名学生参加,从参加考试的学生中抽出60名,将其考试成绩整理后画出的频率分布直方图如下,试根据图形提供的信息解答下列问题：(1)求出这60名学生的考试成绩众数的估计值;(2)求这60名学生考试成绩的平均分(精确到0.1);(3)在这60名学生中,若以成绩在[119,149]之间的学生为总体按分层抽样抽取26人进行试卷分析,试求成绩在[129,139)之间应抽取的人数.参考答案：略21.如图，在长方体中，，。（1）求证；（2）求直线与平面所成角的正弦值．ks5u参考答案：解：（1）如图，以D为原点，以DC直线为Y轴，以DA直线为Z轴，建立空间直角坐标系。则…（2分），，…（3分），…（4分）∴…（5分）（2）∵，…∴，…（7分），∴是平面的法向量…（8分）

∴与所成角的余弦值的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值，

．…（9分）

直线与平面所成角的正弦值为．…（10分）

略22.甲、乙、丙三人轮流投掷一枚质地均匀的正方体骰子，规则如下：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则另外两个人抓阄决定由谁来投掷，且第一次由甲投掷．设第n次由甲投掷的概率是，由乙或丙投掷的概率均为．

（1）计算的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）如果一次投掷中，由任何两个人投掷的概率之差的绝对值小于0．001，则称此次投掷是“机会接近均等”，那么