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文档简介

一、空间曲线的切线与法平面过点M

与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。空间光滑曲线在点M

处的切线为此点处割线的极限位置。点击图中任意点动画开始或暂停第六节

多元微分学的几何应用7/19/202311.空间曲线方程为参数方程切线方程：则在(x0,y0,z0)处有切向量：法平面方程：法向量：7/19/20232例2求圆柱螺旋线在对应点处的切线方程和法平面方程。注：在方程中一般要求如个别为0,则理解为分子也为0。不全为0,7/19/202332.

空间曲线方程为则在(x0,y0,z0)处有切线方程：法平面方程：例3求曲线在P0(,2,0)的切线方程与且平面方程。7/19/202343.空间曲线为一般式方程则在P0(x0,y0,z0)处有切线方程法平面方程切向量（法向量）：7/19/20235注意：对于情形3，做题时最好用推导法，而不是死记公式。牢记此时：例2

求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程。二、空间曲面的切平面与法线1.空间曲面方程为：命题：曲面上通过M(x0,y0,z0)点的所有曲线在M处的切线都在同一平面上，此平面称为在M点的切平面，其方程为7/19/20236证明：设曲面上任取一条通过点M的曲线方程为显然，只需证明：则：曲线在M点的切向量为曲面在M点的切平面的法向量为（略）7/19/20237法线方程：通过M点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。2.空间曲面方程为：曲面在M处的切平面方程为：曲面在M处的法线方程为：7/19/20238切平面上点的竖坐标的增量全微分的几何意义：

(1)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分等于曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)

处的切平面上的点的竖坐标的增量。(2)z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分存在曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面存在。例4

求旋转抛物面z=x2+y2-1点(2,1,4)处的切平面及法线方程。7/19/20239其中：若规定法向量的方向是向上的（即使得与z轴正向成锐角），则法向量的方向余弦为：解：设(x0,y0,z0)

为曲面上的切点,则且得所求切点为：7/19/202310解:

二曲面在

M

点的法向量分别为二曲面在点M

相切,故又点M在球面上,因此有例6

确定正数

使曲面M(x0,y0,z0)相切。

与球面在点7/19/202311课外作业7/19/202312思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:

设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)7/19/202313证明曲面上任一点处的切平面都通过原点。提示:

在曲面上任意取一点则通过此2.设

f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程。点的切平面为7/19/202314

1.

证明曲面与定直线平行,证:

曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为：则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题7/19/2023152.

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