第讲复数的概念课件

第讲复数的概念第讲复数的概念第讲复数的概念第9讲复数的概念、表示方法和运算2学习目标1．通过数的产生和发展，了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念；2．熟练掌握复数的代数形式、三角形式、指数形式、极坐标形式其化方法；3．熟练掌握复数代数形式的四则运算法则；熟练复数三角形式、指数形式、极坐标形式的乘法、乘方、除法的运算法则，并选择合理的方法进行运算；3 虚数单位，英文译名为imaginarynumberunit.所以，用“i”来表示这个新数。一、虚数单位（1）它的平方等于-1,即j2=-1;（2）它和实数一起，可以按实数的四则运算法则进行运算，数j称为虚数单位为了使x2=-1方程有解，我们引进一个新的数，用符号j表示（在数学上一般用符号i表示,为了区别于电学中电流强度的符号，本书中用符号j表示），并规定：6

一般地，对任意整数n，虚数单位j的幂具有下面重要的性质：虚数单位j的这个性质称为周期性．特别规定：7例1：计算：（1）j2012;（2）j-53;解：（1）j2012＝j4×503=1（2）另解：8相关概念：复数：形如z=a+bj(a,b∈R)的数复数集：由全体复数构成的数，称为复数集通常用C表示表示方法：通常用字母z表示，如z=-1+2j代数形式：形如z=a+bj(a,b∈R)的形式.复数：ComplexNumber9复数a+bj(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bj的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，有时把实部记成为ReZ;虚部记成为ImZ，即a=ReZ,b=ImZ.10

复数z=a+bj(a、bR)实数有限小数和无限循环小数(b=0)有理数无理数无限不循环小数虚数(b0)纯虚数(a=0,此时z=bj

)11

两个复数相等是指它们的实部与虚部分别相等12xyobaZ(a,b)

建立了平面直角坐标系来表示复数的平面------复数平面

(简称复平面)x轴------实轴y轴------虚轴z=a+bj特别注意：虚轴不包括原点。复数z=a+bj有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)（数）（形）一一对应131、复数的加法与减法二、复数的四则运算两个复数相加(减)就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)。14例2:计算解:讲解例题

152、复数的乘法法则：设a+bj和c+dj是任意两个复数,那么它们的积为复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结果中把j2换成-1,并且把实部合并.两个复数的积仍然是一个复数.16概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数。特别地，实数的共轭复数是实数本身。若复数用z表示,则其共轭复数用符号表示为即若复数z=a+bj,则其共轭复数为17例3:计算解:讲解例题

18把满足(c+dj)(x+yj)=a+bj

(c+dj≠0)的复数x+yj叫做复数a+bj除以复数c+dj的商,3、复数的除法法则19先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).20例4:计算解:讲解例题

21例5

:设z1=5-5j，z2=-3+4j，求z1/z2;

解:讲解例题

22三、复数的模与辐角模：复数可以等同于平面中的向量(从原点到z=a+bj所引向量oz）。向量的长度称为复数的模，定义为：yxOz=a+bjZ

(a,b)特别地23复数的绝对值的几何意义:复数z=a+bj在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离,通常用r表示,即(复数的模)yxOz=a+bjZ

(a,b)24显然,非零复数的辐角有无穷多个,它们彼此相差2π的整数倍,为了实际需要,本书把适合于-π<θ≤π的辐角θ称为主辐角,记作argZ,θ的值称为辐角的主值,并规定:今后要用主辐角表示复数Z=a+bj的辐角.这样,每一个非零复数都有唯一确定的模和主辐角,模和主辐角也可以唯一确定一个非零复数.25例如:若z=3+4j,则若z=5-12j,则26辐角:向量z与实轴正向之间的夹角称为复数z的辐角，定义为：------主值主辐角:辐角ArgZ的某一特定值记为argZ,我们规定则有：yxOz=a+bjZ

(a,b)argZ2728几个特殊复数的主辐角Z=a+0j(a>0)的主辐角为θ=argZ=0Z=a+0j(a<0)的主辐角为θ=argZ=πZ=0+bj(b>0)的主辐角为θ=argZ=Z=0+bj(b<0)的主辐角为θ=argZ=例如:复数Z=3j的主辐角为θ=argZ=又如:复数Z=-2j的主辐角为θ=argZ=292-2讲解例题

例6:计算下列复数的幅角主值。解：30-1讲解例题

解：例6:计算下列复数的幅角主值。31讲解例题

解：-1例6:计算下列复数的幅角主值。32四、复数的其它形式复数的三角形式复数的指数形式复数的极坐标形式33复数四种形式的相互转化三角形式:指数形式:极坐标形式:代数形式：Z=a+bj(a,b∈R)这里主要是代数形式与三角形式的相互转化,至于三角形式与指数形式、极坐标形式的相互转化非常简单。34把代数形式Z=a+bj转化为三角形式Z=r(cosθ+jsinθ)，先求出复数的模r和主辐角argZ例7：求出复数Z=-3+3j的其它三种形式。（P76例13）解：因为a=-3,b=3,所以又因为点Z（-3，3）在第二象限内，所以其主辐角为讲解例题

35所以复数Z=-3+3j的模为，主辐角为，因此三角形式:指数形式:极坐标形式:代数形式：Z=-3+3j(a,b∈R)36例8：把复数Z=2(cos1200+jsin1200)转化为代数形式。解：要把复数的三角形式Z=r(cosθ+jsinθ)转化为代数形式Z=a+bj,只要通过计算器求出cosθ、sinθ然后展开即可。37五、复数其它形式的乘除法运算这里主要介绍复数的三角形式、指数形式和极坐标形式的乘除运算乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减38乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减39乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减40乘法的计算规律为：模相乘，主辐角相加除法的计算规律为：模相除，主辐角相减41P80例8例9：讲解例题

42P80例10例10：讲解例题

43P83例12例11：讲解例题

44P84例14讲解例题

45例14：将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解故三角表示式为讲解例题

指数表示式为所以46例15:把复数-2+2j化为指数形式。解:复数的模为因为实部a=-2<0，虚部b=2>0，所以其主辐角为所以47例16：将下列复数转化为代数形式：(1)Z1=50∠53.1；(2)Z2=10∠120。解：利用复数的三角形式，计算如下：(1) Z1=5053.1

=50(cos53.1+jsin53.1)=50(0.6+0.8j)=30+j40(2) Z2=10

120

=10(cos120

jsin120)=10(0.50.866j)=58.66j讲解例题

48例17：将下列复数转化为极坐标形式：(1)Z1=5；(2)Z2=3j；(3)Z3=1612j解：利用复数的代数形式，计算结果如下：(1) Z1=5=50(2) Z2=j3=3

90(3) Z3=16j12=20

36.9讲解例题

49小结你能总结一下本讲的主要内容吗？501、计算：。2、求复数

的实部与虚部、共轭复数、模与辐角练习513．如果等式

成立，则实数x、y为何值？4、将复数

化成三角表示式和指数表示式以及极坐标形式。练习52祝你学习进