湖北省孝感市航天中学高一数学理期末试题含解析

湖北省孝感市航天中学高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是()A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBCC.MN与BC所成的角为45° D.OC⊥平面VAC参考答案：B【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.，分别为，的中点，，又，与所成的角为，故不正确；，，不成立，故A不正确．B.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，垂直⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，，又，平面，又平面，平面平面，故B正确；C.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，又、、、共面，与不垂直，平面不成立，故不正确；，分别为，的中点，，又，与所成的角为，故不正确；D.是⊙O的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，，又、、、共面，与不垂直，平面不成立，故D不正确.故选:B.【点睛】本题主要考查空间位置关系的证明，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.2.已知函数在时取得最大值，在时取得最小值，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.下列函数中，在区间（0，1）上为增函数的是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C4.下列说法正确的是（

）A.终边相同的角一定相等B.－831°是第二象限角C.若角，的终边关于x轴对称，则D.若扇形的面积为，半径为2，则扇形的圆心角为参考答案：D【分析】A：通过举特例进行判断即可；B：把角化为内终边相同的角，进行判断即可；C：通过举特例进行判断即可；D：根据扇形的面积公式，结合弧长公式进行判断即可.【详解】A：两个角的终边相同，但是这两个角不相等，故本说法错误；B：，而，所以是第三象限角，故本说法错误；C：当时，两个角的终边关于轴对称，而，故本说法错误；D：设扇形的弧长为，因为扇形的面积为，半径为2，所以有，因此扇形的圆心角为.故选：D【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，考查了终边相同角的性质，考查了角的位置，考查了已知两个角终边的对称性求两角的关系问题，属于基础题.

5.等比数列中，已知，则数列的前16项和S16为（

）

A．－50

B．

C．

D．参考答案：B略6.设集合，等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.若向量,则等于A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.

在△ABC中，AC=

，BC=2，B=60°，则BC边上的高等于（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B9.△ABC中,，，,在下列命题中,是真命题的有(

)A.若>0，则△ABC为锐角三角形B.若=0.则△ABC为直角三角形C.若,则△ABC为等腰三角形D.若,则△ABC为直角三角形参考答案：BCD【分析】由平面向量数量积的运算及余弦定理，逐一检验即可得解．【详解】如图所示，中，，，，①若，则是钝角，是钝角三角形，错误；②若，则，为直角三角形，正确；③若，，，，取中点，则，所以，即为等腰三角形，正确，④若，则，即，即，由余弦定理可得：，即，即，即为直角三角形，即正确，综合①②③④可得：真命题的有BCD，故选：BCD【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及余弦定理，属于中档题．10.下列函数中，图象过定点的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（5分）已知函数f（x）=，则f（）=

．参考答案：考点： 对数的运算性质；函数的值．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由0＜＜2知，代入中间的表达式即可．解答： 解：∵0＜＜2，∴f（）=log2=；故答案为：．点评： 本题考查了分段函数的应用，属于基础题．12.某校高一年级三个班共有学生120名，这三个班的男、女生人数如下表所示。已知在全年级中随机抽取1名学生，抽到二班女生的概率是0.2，则x＝________。现用分层抽样的方法在全年级抽取30名学生，则应在三班抽取的学生人数为__________。

一班二班三班女生人数20xy男生人数2020z参考答案：24

913.给出定义：若(其中m为整数)，则m叫做离实数最近的整数，记作{}=m．在此基础上给出下列关于的函数的四个命题：

①函数的定义域为R，值域为[0，]；

②函数在[-，]上是增函数；

③函数是偶函数；

④函数的图象关于直线对称．其中正确命题的序号是

。参考答案：略14.函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和为．参考答案：2【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】先判断函数﹣的为奇函数，利用奇函数的最大值和最小值之为0，然后利用图象平移得到函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和．【解答】解：设f（x）=﹣，则f（x）为奇函数，所以函数f（x）的最大值与最小值互为相反数，即f（x）的最大值与最小值之和为0．将函数f（x）向上平移一个单位得到函数y=1﹣的图象，所以此时函数y=1﹣（x∈R）的最大值与最小值的和为2．故答案为：2．【点评】本题考查了函数奇偶性的应用以及函数图象之间的关系，奇函数的最大值和最小值互为相反数是解决本题的关键．15.函数的相邻两支截直线所得线段长，则的值为

参考答案：016.已知定义在R上的奇函数f(x)，当时有，则

参考答案：因为，又是上的奇函数，所以，即，故填.

17.函数的定义域为

.参考答案：（0，]三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=cos4x+2sinxcosx﹣sin4x+1（1）求f（x）的最小正周期．（2）求f（x）的单调区间．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）根据二倍角公式化为f（x）=，从而求出函数的最小正周期；（2）由（1）结合正弦函数的单调性解不等式，从而求出函数的单调区间即可．【解答】解：（1）f（x）=cos2x+sin2x+1=…∴f（x）的最小正周期．…（2）由，k∈Z得，k∈Z∴f（x）的单调递增区间是（k∈Z）；…由，k∈Z得，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间是（k∈Z）．…【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，函数的周期性，考查函数的单调性问题，是一道中档题．19.（12分）（2015秋潍坊期末）在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥平面ACE； （Ⅱ）求证：PC⊥AE． 参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO，可得OE∥PD，又OE?平面ACE，PD?平面ACE，即可判定PD∥平面ACE． （Ⅱ）先证明PA⊥BC，CB⊥AB，可得CB⊥平面PAB，可得CB⊥AE，又AE⊥PB，即可证明AE⊥平面PBC，从而可证PC⊥AE． 【解答】（本题满分为12分） 证明：（Ⅰ）连接BD交AC与O，连接EO， ∵E，O分别为BP，BD的中点， ∴OE∥PD， 又∵OE?平面ACE，PD?平面ACE， ∴PD∥平面ACE．…4分 （Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， ∴PA⊥BC，…6分 又∵底面ABCD是矩形， ∴CB⊥AB， ∵PA∩AB=A， ∴CB⊥平面PAB，…8分 又∵AE?平面PAB， ∴CB⊥AE， 又∵PA=AB，E为PB的中点， ∴AE⊥PB，…10分 ∵PB∩BC=B， ∴AE⊥平面PBC， 又∵PC?平面PBC， ∴PC⊥AE．…12分 【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定和性质，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题． 20.求圆心为C（2，﹣1）且截直线y=x﹣1所得弦长为的圆的方程． 参考答案：【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】求出圆心到直线y=x﹣1的距离，利用弦长为，求出半径，即可求出圆的方程． 【解答】解：设圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=r2．…（5分） 由题设圆心到直线y=x﹣1的距离…（10分） 又直线y=x﹣1被圆截得的弦长为2，…（15分） 故所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=4…（18分） 【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，正确求出圆的半径是关键． 21.本小题满分12分已知点及圆：.

(1)设过点的直线与圆交于、两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(2)设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）由于，而弦心距，所以.所以恰为的中点，故以为直径的圆的方程为.

（2）把直线．代入圆的方程，消去，整理得．由于直线交圆于两点，故，即，解得．则实数的取值范围是．

设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以．由于，故