2022-2023学年广东省河源市田源中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年广东省河源市田源中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为……（） A． B． C． D．参考答案：A6节课共有种排法.语文、数学、外语三门文化课中间隔1节艺术课有种排法，三门文化课中、都相邻有种排法，三门文化课中有两门相邻有，故所有的排法有，所以相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为,选A.

2.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是A．

B．

C．

D．参考答案：C3.已知函数满足，且，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D4.设集合，则A∩B等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A5.（09年湖北重点中学4月月考理）已知，设集合，则A的子集个数共有（

）A、0个

B、1个

C、2个

D、无数个参考答案：B6.执行如图所示的程序框图，输出的x值为

A．7

B.6

C.5

D.4参考答案：B7.如图所示，墙上挂有边长为的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆孤，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是

（

）

A．1-

B．

C．1-

D．与的取值有关

参考答案：答案:A8.若，则的值为（

）

参考答案：A9.若Sn=sin，则在S1，S2，…，S2017中，正数的个数是（）A．143 B．286 C．1731 D．2000参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．【解答】解：由于sin＞0，＞0，…，＞0，sin=0，sin=﹣＜0，…，sin=﹣＜0，sin=0，可得到S1＞0，…，S12＞0，S13=0，而S14=0，2017=14×144+1，∴S1，S2，…，S2017中，正数的个数是2017﹣144×2+2=1731．故选：C．10.设是整数，则“均为偶数”是“是偶数”的(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件参考答案：【标准答案】A【试题解析】均为偶数是偶数则充分；

是偶数则均为偶数或者均为奇数即是偶数均为偶数

则不必要，故选A【高考考点】利用数论知识然后根据充要条件的概念逐一判定【易错提醒】是偶数则均为偶数或者均为奇数【备考提示】均为偶数是偶数，易得;否定充要时只要举例：，即可。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

.参考答案：，根据积分的几何意义可知等于半径为1的半圆的面积，即，，所以.12.已知直线与抛物线相交于，两点.若点满足（为坐标原点），则直线的方程为

▲

.参考答案：所以，线段中点为，的方程为：13.在的二项展开式中,的系数是_______________.参考答案：-2014.已知集合，则

。参考答案：略15.已知直线，则直线与的夹角的大小是．参考答案：16.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为

．参考答案：由已知中正视图，俯视图是等腰三角形,侧视图为直角三角形,如图可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面,高为2，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，这个几何体的外接球的直径2R=.则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×=.故答案为：.

17.已知m〉0，n〉0,向量a=（m,1），b=（2—n，1），且a//b，则的最小值是______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地拟建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图所示：曲线AB是以点E为圆心的圆的一部分，其中，是圆的切线，且，曲线BC是抛物线的一部分，，且CD恰好等于圆E的半径.（1）若米，米，求t与a的值；（2）若体育馆侧面的最大宽度DF不超过75米，求a的取值范围.参考答案：（1），；（2）.【分析】（1）根据抛物线方程求得，从而可得半径，即，进而解得；通过圆的方程求得点坐标，从而得到点坐标，代入抛物线方程求得；（2）求解出点坐标后，可知，可整理为，利用基本不等式可求得的最大值，从而可得的范围.【详解】（1）由抛物线方程得：

又，均为圆的半径

，则圆的方程为：

，则代入抛物线方程得：，解得：（2）由题意知，圆的半径为：，即则点纵坐标为，代入抛物线方程可得：，即，整理可得：

（当且仅当时取等号）

即的取值范围为：【点睛】本题考查函数在实际生活中的应用问题，涉及到函数方程的求解、根据函数最值求解参数范围的问题，关键是能够通过分离变量的方式，得到所求变量和函数最值的关系，从而通过基本不等式求得最值，进而得到参数范围.19.已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的较小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．参考答案：【分析】（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；（2）y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x﹣在x＞0的图象，可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，设切点为（m，n），即有n=，n=m，可得ame=em，①由直线y=x为曲线y=f（x）的切线，可得=，②由①②解得m=1，a=1；（2）函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），由f（x）=的导数为f′（x）=，当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．对x﹣在x＞0递增，设y=f（x）和y=x﹣的交点为（x0，y0），由f（1）﹣（1﹣1）=＞0，f（2）﹣（2﹣）=﹣＜0，即有1＜x0＜2，当0＜x＜x0时，g（x）=x﹣，h（x）=g（x）﹣cx2=x﹣﹣cx2，h′（x）=1+﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，即有2c≤+，由y=+在（0，x0）递减，可得2c≤+①当x≥x0时，g（x）=，h（x）=g（x）﹣cx2=﹣cx2，h′（x）=﹣2cx，由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，即有2c≤，由y=，可得y′=，可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，即有x=3处取得极小值，且为最小值﹣．可得2c≤﹣②，由①②可得2c≤﹣，解得c≤﹣．20.如图，三棱锥P-ABC中，G是的重心.（1）请在棱AC上确定一点D，使得直线DG//平面PAB，并说明理由；（2）若在（1）的条件下，，平面PAB⊥平面ABC，，求直线GD与平面PCA所成角的正弦值.参考答案：(1)见证明；(2)分析】（1）连接CG交PB于M，由G为三角形PBC的重心，可得,取D使,可证平面PAB.（2）只需求MA与平面PCA所成角的正弦值.由求B到平面PCA的距离h.取AB中点O，利用两平面垂直的性质定理，判断PO与平面ABC垂直，有，解得h，从而DG与平面PCA所成角的正弦值.【详解】证明：（1）连接延长交于，连接，因为是△的重心，所以，M为BP的中点，在上取一点使得，连接，则在平面三角形中，因为平面，平面，所以平面（2）取的中点，连接，，因为，，所以，且又因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，由题知，所以，且，而，所以平面，设到平面的距离为，与平面所成角为，由得:，，解得:，所以到平面的距离为，，直线与平面所成角的正弦值为．（2）取的中点，连接，，因为，，所以，且又因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，，由题知，所以，且，而，所以平面，,所以，设到平面的距离为，MA与平面所成角为，由得:，，解得:，所以到平面的距离为，M到平面PCA的距离为，由（1）,所以直线DG与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面垂直的性质定理，空间角的计算，考查空间想象、逻辑推理、计算能力，属于中档题.21.某高中志愿者男志愿者5人，女志愿者3人，这些人要参加社区服务工作.从这些人中随机抽取4人负责文明宣传工作，另外4人负责卫生服务工作.（Ⅰ）设M为事件；“负责文明宣传工作的志愿者中包含女志愿者甲但不包含男志愿者乙”，求事件M发生的概率；（Ⅱ）设X表示参加文明宣传工作的女志愿者人数，求随机变量X的分布列与数学期望.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数为，事件M包含基本事件的个数为，利用古典概型的计算公式，即可求解．（Ⅱ）由题意，得到随机变量X可取的值，求得相应的概率，得出相应的分布列，利用期望的公式，即可求解．【详解】（Ⅰ）从8人中随机抽取4人负责文明宣传的基本事件的总数为，事件M包含基本事件的个数为，则.（Ⅱ）由题意知X可取的值为：0，1，2，3.则，，因此X的分布列为X0123P

的数学期望是.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及随机变量的分布列及期望的求解，其中解答中认真审题，得出随机变量的取值，求得相应的概率得到分布列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

22.（本小题满分16分）已知椭圆E：的左顶点