三角函数图象与性质

第五章三角函数5.4.2

正弦函数、余弦函数的性质课程目标了解周期函数与最小正周期的意义;了解三角函数的周期性和奇偶性;会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、 最值、图象与x轴的交点等);能利用性质解决一些简单问题.数学学科素养数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的 含义；逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值 域及判断奇偶性.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像 探究正、余弦函数的性质.自主预习，回答问题阅读课本201-205页，思考并完成以下问题周期函数、周期、最小正周期等的含义？怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。1.函数的周期性(1)对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,

非零常数T

叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个

最小的正数,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.最小正数(3)记f(x)=sin

x,则由sin(2kπ+x)=sin

x(k∈Z),得f(x+2kπ)=f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立,余弦函数同理也是这样,所以正弦函数、余弦函数都是周期函数,

2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期为2π

.知识清单探究1:是不是所有的周期函数都有最小正周期?提示:并非所有周期函数都有最小正周期.例如,对于常数函数f(x)=c(c为常数,x∈R),所有非零实数T都是它的周期,最小正数不存在,所以常数函数没有最小正周期.2.正、余弦函数的性质定义域R

R值域

[-1,1]

[-1,1]周期性最小正周期为

2π

最小正周期为

2π奇偶性

奇函数

偶

函数单调性在[2kπ-π

,2kπ+

π

](k∈Z)上递增;2

2在[2kπ+

π

,2kπ+

3

π](k∈Z)上递减2

2在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上

递增

;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上递减对称轴x=kπ+

π

(k∈Z)2x=kπ(k∈Z)探究2:正弦函数(余弦函数)是不是定义域上的单调函数?提示:正弦函数(余弦函数)在其定义域上不是单调函数.探究3:正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点吗?提示:是.对称中心(kπ,0)(k∈Z)(kπ+

π

,0)(k∈Z)2最值πx=2kπ+

(k∈Z)时,ymax=1;

2

πx=2kπ-2

(k∈Z)

时,ymin=-1x=

2kπ(k∈Z)

时,ymax=1;x=

2kπ+π(k∈Z)

时,ymin=-11．判断正误(1)存在x∈R满足sin

x＝

2.(

)π

2

(2)函数

y＝cos

2x

在

，π上是减函数．(

)(3)在区间[0,2π]上，函数

y＝cos

x

仅在

x＝0

时取得最大值

1.(

)答案：(1)×

(2)×

(3)×小试牛刀

π2．设函数f(x)＝sin2x－2，x∈R，则f(x)是(

)最小正周期为π

的奇函数最小正周期为π

的偶函数πC．最小正周期为2的奇函数πD．最小正周期为2的偶函数

π

π解析：f(x)＝sin2x－2＝－sin2－2x＝－cos

2x，因此f(x)2π是偶函数，且是最小正周期为2

＝π

的周期函数，故选B.答案：B3．函数y＝sin

x

和y＝cos

x

都是减函数的区间是()

πA.2kπ＋2，2kπ＋π(k∈Z)

πB.2kπ，2kπ＋2(k∈Z)

3πC.2kπ＋π，2kπ＋

2

(k∈Z)3πD.2kπ＋

2

，2kπ＋2π(k∈Z)2解析：由y＝sin

x

是减函数得2kπ＋π≤x≤2kπ＋3π

k2

(∈Z)，由y＝cos

x

是减函数得2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，所以2kπ＋2π≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A.答案：A

3π4．已知函数f(x)＝sin2x＋2

(x∈R)，下面结论错误的是()函数f(x)的最小正周期为π函数f(x)是偶函数πC．函数f(x)的图象关于直线x＝4对称πD．函数f(x)在区间0，2上是增函数解析：f(x)＝sin2x＋3π2

＝－cos

2x，最小正周期为π，故A

正确；易知函数f(x)是偶函数，故B

正确；由函数f(x)＝－cos

2x

的图象可知，C

错误，D

正确．答案：C题型分析

举一反三题型一正、余弦函数的周期性【例1】求下列三角函数的最小正周期:(1)y=3cos

x,x∈R; (2)y=sin

2x,x∈R;1

p(3)y=2sin(

x

-

),x∈R;(4)y=|cos

x|,x∈R.2

6解析:(1)因为3cos(x+2π)=3cos

x,所以由周期函数的定义知,y=3cos

x的最小正周期为2π.(2)因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为π.(3)因为sin

1

(

x

+

4

p

)

-

p

=

sin

x

+

2

p

-

p

=

sin

x

-

p

2 6

2 6

2 6

2 6

所以由周期函数的定义知,y

=2

sin

x

-p

的最小正周期为4π.(4)y=|cosx|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos

x|的最小正周期为π.解题方法（求函数最小正周期的常用方法）定义法，即利用周期函数的定义求解．公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ

是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝2π.|ω|(3)图象法，即通过画出函数图象，通过图象直接观察即可．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．[跟踪训练一]61.(1)函数y=2sin

(3x+

π

),x∈R

的最小正周期是(

B

)2(A)

π

(B)

2π

(C)

3π

(D)π3

3

2(2)函数y=|sin

2x|(x∈R)的最小正周期为

.解析:(2)作出y=|sin

2x|(x∈R)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin

2x|(x∈R)的最小正周期为π

.答案:(2)

π2题型二

正、余弦函数的奇偶性【例2】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=

2

sin

2x;(2)f(x)=sin(

3x

+

3π

);4

2(3)f(x)=sin

|x|;(4)f(x)=

1

-

cos

x

+cos

x

-1

.解析:(1)显然

x∈R,f(-x)=

2

sin(-2x)=-

2

sin

2x=-f(x),所以f(x)=

2

sin

2x

是奇函数.(3)显然x∈R,f(-x)=sin|-x|=sin|x|=f(x),所以函数f(x)=sin

|x|是偶函数.1

-

cos

x‡

0,(4)由cos

x

-1

‡0,得cos

x=1,所以x=2kπ(k∈Z),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.(2)因为x∈R,f(x)=sin(3x

+3π

)=-cos

3x

,4

2

4所以f(-x)=-cos(-3x

)=-cos

3x

=f(x),4

44

2所以函数f(x)=sin(3x

+3π

)是偶函数.解题方法（判断函数奇偶性的方法）判断函数奇偶性的方法

(1)利用定义判断一个函数f(x)的奇偶性,要考虑两方面:①函数的定义域是否关于原点对称;②f(-x)与f(x)的关系;

(2)判断函数的奇偶性常用方法是:①定义法;②图象法.[跟踪训练二])下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(y=sin(2x+

π

)2y=cos(2x+

π

)2y=sin(2x+

π

)4y=

2

sin(x+

π

)4解析:A中,y=sin(2x+π

),即y=cos

2x,为偶函数;C,D中,函数为非奇非偶2函数;B中,y=cos(2x+π

)=-sin

2x,是奇函数,T=2

π

=π,故选B.2

22.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)

的最小正周期为π，且当x∈0，2时，f(x)＝sin

x，则f

π

5π

3

=(

)2A．－1

B．1C．－32D．32解析：

因为

f(x)的最小正周期为

T＝π，5π

5π

π所以

f

3

＝f

3

－2π＝f

－3，又y＝f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

π

π35π

π

33

2所以

f

3

＝f

－3＝f

＝sin

＝

.答案：

D题型三

正、余弦函数的单调性23【例3】求函数y=sin(1

x+π

)的单调区间.π解析:当-

+2kπ≤212π3π2x+

≤

+2kπ(k∈Z)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为[-

5

π

+

4

kp

,

π

+

4

kp

](k∈Z).3

3π当

+2kπ≤212πx+

≤33

π2+2kπ(k∈Z)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为[π

+4

kp

,7

π

+4

kp

](k∈Z).3

3解题方法（求单调区间的步骤）(1)用“基本函数法”求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的步骤：第一步：写出基本函数y＝sin

x(或y＝cos

x)的相应单调区间；第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间(用不等式表示)中的“x”；第三步：解关于x

的不等式．(2)对于形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数的单调区间问题，当ω＜0

时，可先用诱导公式转化为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的单调递增区间即为原函数的单调递减区间，单调递减区间即为原函数的单调递增区间．余弦函数y

＝Acos(ωx＋φ)的单调性讨论同上．另外，值得注意的是k∈Z

这一条件不能省略．[跟踪训练三]π

41．求函数

y＝2sin

－x的单调增区间．π

ππ4

4

4解析：y＝2sin

－x＝－2sinx－

，令

z＝x－

，则

y＝－2sinπz，求y＝－2sin

z

的增区间，即求y＝sin

z

的减区间，所以2＋2kπ≤z≤3π

2kπ(k∈Z)

π＋2kπ≤x－π≤3π

2kπ(k∈Z)，2

＋ ，即2

4 2

＋解得3π

7π4

＋2kπ≤x≤

4

＋2kπ(k∈Z)，π

3π

7π所以y＝2sin4－x的单调增区间是

4

＋2kπ，4

＋2kπ(k∈Z)．解析：

cos－23π5

7π

7π＝cos－6π＋

5

＝cos

5

，cos－17π4

7π

7π＝cos－6π＋

4

＝cos

4

，∵π＜7π7π5

＜4

＜2π，且函数y＝cos

x

在[π，2π]上单调递增，∴cos

5

＜cos

4

，即cos－7π

7π

23π5

＜cos－17π4.题型四

正弦函数、余弦函数单调性的应用【例4】比较下列各组中函数值的大小：

23π

17π（1）cos－5

与cos－4

；(2)sin

194°与cos

160°.解析：

sin

194°＝sin(180°＋14°)＝－sin

14°，cos

160°＝cos(180°－20°)＝－cos

20°＝－sin

70°.∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sinx

在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin

14°＜sin

70°.从而－sin

14°＞－sin

70°，即sin

194°＞cos

160°.解题方法（比较两个三角函数值的大小）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．已知正(余)弦函数的单调性求参数范围，多用数形结合思想及转化思想求解．[跟踪训练四]1．下列结论正确的是A．sin

400°>sin

50°C．cos

130°>cos

200°(

)B．sin

220°<sin

310°D．cos(－40°)<cos

310°解析：由

cos 130°＝cos(180°－50°)＝－cos

50°，cos

200°＝cos(180°＋20°)＝－cos

20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cos

x

是减函数，所以cos

50°<cos

20°，所以－cos50°>－cos

20°，即cos

130°>cos

200°.答案：C题型五

正、余弦函数的值域与最值问题x+

π

∈[

π

,

2π

],6

6

3函数

y=cos

x

在区间[

π

,

2π

]上单调递减,所以函数的值域为[-

1

,

3

].6

3

2

2【例5】求下列函数的值域:2(1)y=cos(x+

π

),x∈[0,

π

];6(2)y=cos2x-4cos

x+5.解析:(1)由x∈[0,π

]可得2解析:(2)y