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高中数学总结归纳非线性回归问题

高考数学复习总结非线性回归问题当两个变量之间不呈线性关系时，无法直接使用线性回归方程建立它们之间的关系。这时可以通过变换的方法将其转化为线性回归模型。解决非线性回归问题的具体方法如下：1.如果问题中已给出经验公式，可以将变量进行置换（换元），将非线性关系转化为线性关系，以线性回归分析问题的方式解决。2.如果问题中没有给出经验公式，需要画出已知数据的散点图，并与各种已知函数（如指数函数、对数函数、幂函数等）的图像作比较，选择一种与这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量置换，将问题化为线性回归分析问题来解决。下面举例说明非线性回归分析问题的解法。例1：在彩色显影中，由经验可知：形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y=Ae（b<0）表示，现测得实验数据如下：xy0.050.220.100.270.060.230.140.300.250.361.000.670.310.341.120.700.070.220.230.320.100.240.370.410.380.421.190.760.430.441.250.770.140.280.590.510.200.300.790.570.470.461.290.79试求y对x的回归方程。分析：该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为y=Ae（b<0）类型，我们只要通过所给的11对样本数据求出A和b，即可确定x与y的相关关系的曲线方程。解：由题意可知，对于给定的公式y=Ae（b<0）两边取自然对数，得lny=lnA-bx。与线性回归方程对照可以看出，只要取u=bx，v=lny，a=lnA，就有v=a+bu，这是v对u的线性回归直线方程。对此我们再套用相关性检验，求回归系数b和a。题目中所给数据由变量置换u=1/x，v=lny变为如表所示的数据：uv7.143-2.303-0.528-1.9665.0000.113-0.236-1.4702.128-0.9940.2550.17420.0000.22316.6670.1744.000-2.3033.226-1.46914.286-0.22310.000-0.3562.632-0.8202.326-0.820可以求得相关系数r=0.998。由于|r|=0.998>0.602，可知u与v具有很强的线性相关关系。进一步求得回归系数b=-0.146，a=0.548，再将u和v置换回来可得lny=0.548-0.146x，即y=Ae^(-0.146x)。为了研究一种细菌随时间的变化而产生的繁殖个数，我们收集了以下数据：天数x和繁殖个数y。我们首先绘制了这些数据的散点图（见图1）。为了求出y对x的回归方程，我们需要将非线性回归方程转化为线性回归方程。观察散点图，我们发现样本点分布在一条指数型曲线y=ce（c＞0）的周围。因此，我们进行变量置换，令z=lny，a=lnc，则z=bx+a。相应的散点图如图2所示。从图2

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