高中数学-圆的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

圆的标准方程圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的标准方程是在学生学习了直线与直线方程之后,安排的一节继续深入学习的内容。进一步运用坐标法解决二次曲线问题,为后面学习直线与圆的位置关系、椭圆、双曲线、抛物线等提供了基本模式和理论基础，起着承前启后的作用。一、教学与评价目标教学目标（1）推导圆的标准方程过程，掌握圆的标准方程；（2）会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标：（3）会根据已知条件写出圆的标准方程；2、评价目标（1）在回顾确定直线的几何要素——两点（或者一点和斜率）的基础上，类比得到圆的几何要素——圆心位置和半径大小。由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。这一过程提升逻辑推理、数学抽样等数学素养。（2）通过对圆的标准方程的推导，体会圆与集合的内在关系，提升整体把握数学内容的能力，增强学习数学的信心。提升数学运算与数据分析的等数学素养。（3）经历用待定系数法和数形结合求解圆的标准方程的过程，体会数形结合在圆锥曲线问题中的重要作用，提升数学运算、直观想象的数学素养。二、教学重难点重点：圆的标准方程的求法及其应用.难点：根据不同的已知条件求圆的标准方程；三、教学思维导图确定圆的几何要素：圆心位置、半径大小确定圆的几何要素：圆心位置、半径大小两点间距离公式圆的标准方程实际应用问题四、教学过程与设计1、问题导学教师活动：问题1.回忆初中圆的定义是什么？问题2.在平面直角坐标系中，两点确定一条直线。圆是有什么确定的？它的确定要素是【教学设想】通过复习回顾，奠定基础知识。2、深入探究获得新知探究一:教师活动：问题1:圆可以看成是平面上的一条曲线,在平面几何中，根据初中学习的圆的定义，如何用集合语言描述以点A为圆心，r为半径的圆？问题2：设圆心坐标为A(a，b)，圆半径为r，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义，圆心为A的圆的集合表示：P={M||MA|=r}，那么点M的坐标x，y应满足什么关系？问题3:对于以点A(a，b)为圆心，r为半径的圆，由上可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2；反之,若点M(x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2，那么点M一定在这个圆上吗？学生活动：讨论解决以上问题学生活动：由直线方程类比得到从圆心坐标和半径大小入手探究圆的标准方程。教师活动：如图，在直角坐标系中，圆心A的位置用坐标表示，半径为圆上任意点，具有什么特征？学生活动：点到圆心距离等于半径。【教学设想】温故知新、构建知识发生的基础，不仅巩固检测了学生对知识点的掌握情况，而且为本节课从两点间距离出发，讨论圆的标准方程埋下了伏笔。确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为，半径为（其中都是常数，）。设为圆上任意一点，那么点满足的条件是（引导学生自己列出），由两点间距离公式让学生写出点适合的条件，化简可得：（1）【教学设想】引导学生运用已知知识（两点间距离公式）解决未知知识，体会数学知识的形成过程。这个式子具有代表性，任一个圆上的点的坐标都可以表示成这种形式。其次再来考虑第二条件，满足这个方程的是否一定在这个圆上呢？只要满足这个方程，则到的距离就等于，则这个点就一定在圆上。通过以上两点的考证，得出了圆的方程，圆心在，半径的圆的方程：这种形式的圆的方程我们称之为圆的标准方程。强调方程形式特点：（1）类似于三角形勾股定理（可避免学生将写成）；（2）有两个变量，形式都是与某个实数差的平方；（3）含有三个参数；特别：当圆心在原点，半径为时，圆的标准方程为：【教学设想】学生在写圆心坐标和半径时容易出错，原因在于他们并没有真正发现圆的标准方程的特点。所以，在圆的标准方程给出后让学生寻找方程的特点。探究二：点与圆的位置关系教师活动：问题1:在平面几何中，初中学过点与圆有哪几种位置关系？问题2:在初中平面几何中，如何确定点与圆的位置关系？问题3:在直角坐标系中,已知点M(x0，y0)和圆C：,如何判断点M在圆外、圆上、圆内？学生活动：讨论得出结论例1.写出圆心为（2，-3）半径长等于5的圆的方程，并判断点M(5,-7)N(-3,1)是否在这个圆上。分析：已知圆心坐标、半径长度，便可运用所学知识直接求出圆的标准方程，学生不难判断点是否在圆上。这里体现了坐标法的思想，根据给出的圆心坐标及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足房后才能，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。【教学设想】借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习求圆的标准方程。在这一过程中提升学生的直观想象的数学素养。3.标准方程的应用:例2.的三个顶点的坐标A(5,1),B(7，-3),C(2，-8)，求它的外接圆的方程。分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接球。求它的标准方程需要求出圆心坐标和半径。思路一：引导学生通过设圆的标准方程为，含有三个参数，因此必修具备三个独立条件才能确定一个圆，学生有了直线方程的背景，不难由点A、B、C在圆上，满徐圆的方程，可列出三个方程，确定。教师板书教学过程，并强调书写规范性。【教学设想】让学生初步体验用“待定系数法”求曲线方程这一数学方法的使用过程，突出本节课重点，提升数学运算的素养。思路二：数形结合法通过师生一起画出三角形，并引导学生思考如何做出其外接圆，寻找圆心和半径。利用图象性质，两条垂直平分线的交点就是圆心位置，联立方程组，得到圆心坐标，圆心到三角形任一顶点的距离就是半径，从而确定圆的方程。【教学设想】目的是使“数形结合”思想的教学落到实处，同时培养学生的画图技能，增强教学效果，提升直观想象素养例题小结（求圆的标准方程的两种常见做法）：一是待定系数法，根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程。二是数形结合法，根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后写出圆的标准方程。【教学设想】突破本节内容难点，让学生掌握待定系数法，培养学生数形结合的数学思想。变式：已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,－2)，且圆心C在直线上l：x－y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．4、小结反思引申拓展（1）通过本节课的学习，你学到了那些知识？（2）通过本节课的学习，你最大的体验是什么？（3）通过本节课的学习，你掌握了哪些技能？【教学设想】通过学生自己小结来理清整个知识脉络，强化重点。回顾本节内容加强学生对本节内容知识体系的理解，有利于学生把握本节所学内容，也进一步培养学生归纳总结能力，构建良好的数学认知结构。5、自作业布置巩固延伸（A）巩固型作业：教材P120习题1，P121习题4.（B）思维拓展型作业：（1）把圆的标准方程展开后是什么形式？（2）方程表示什么图形？【教学设想】分层设置作业，在思维拓展型作业中设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.学情分析圆是学生比较熟悉的曲线，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，在本节课之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。再者，学生经过了必修一、必修二的部分学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。通过五种直线方程的学习，对直角坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。针对我班学生基础差，计算能力差，应选基础题目，同时注意计算方法。效果分析通过本节课学习，要让学生们掌握圆的标准方程的基本知识，能根据圆心坐标和圆的半径熟练地求出圆的标准方程，能从圆的标准方程快速得出圆心坐标、半径。其次，能根据圆的标准方程判断平面直角坐标系中任意一点是否在圆上，能进一步判断点在圆内、圆外的条件。最后会求圆的标准方程，待定系数法和几何法两种方法的对比。待定系数法计算相对复杂，但希望同学们能掌握住计算方法，锻炼了计算能力。教材分析圆是解析几何中最简单的曲线之一，圆的标准方程的学习是在学生学习了直线与方程的基础知识之后，知道了在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质这一基础上进行展开的，在学习中充分体现了数形结合的思想，以及用代数方法解决几何问题的思想，也是为后面进一步学习其它圆锥曲线打下坚实的基础，具有相当重要的意义。评测练习1.以点(2，－1)为圆心，eq\r(2)为半径的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝eq\r(2)B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2D．(x－2)2＋(y＋1)2＝eq\r(2)2.点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．不确定3.以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝25B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100D．(x－1)2＋(y－2)2＝1004．已知圆心为P(－2,3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是()A．(x－2)2＋(y＋3)2＝4B．(x＋2)2＋(y－3)2＝4C．(x－2)2＋(y＋3)2＝9D．(x＋2)2＋(y－3)2＝95.与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的标准方程是________．6.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．课后反思我也做了如下的反思：第一，课堂的引入必须要提起学生的兴趣；第二，在做教学设计时更多地考虑学生的主动性；第三，在课堂实施的过程中，更多地要调动学生的积极性，让他们去动手，而不是只顾自己讲；第四，要注意多去关注学生，包括学生的疑问、见解以及及时地给予鼓励。课标分析圆是学生熟悉的基本平面曲线，可