数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件

4.4数学归纳法激趣诱思知识点拨平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一

激趣诱思知识点拨数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,

推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.微思考数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°,第一个值n0=3.探究一探究二探究三素养形成当堂检测用数学归纳法证明等式例1(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为

.

(1)解析:令f(n)=(n+1)(n+2)…(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2),答案:2(2k+1)探究一探究二探究三素养形成当堂检测即当n=k+1时等式也成立.由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.探究一探究二探究三素养形成当堂检测综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.探究一探究二探究三素养形成当堂检测归纳—猜想—证明

计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.探究一探究二探究三素养形成当堂检测下面我们用数学归纳法证明这个猜想.所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节

(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测用数学归纳法证明不等式

分析:按照数学归纳法的步骤证明,由n=k到n=k+1的推证过程可应用放缩技巧,使问题简单化.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测即当n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对所有的n∈N*都成立.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测由(1)和(2)知原不等式在n≥2,n∈N*时均成立.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟用数学归纳法证明不等式的关键点(1)先凑假设,作等价变换;(2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地放缩、分析直到凑出结论.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测用数学归纳法比较大小

解:(1)当n=1或n=2时,Pn=Qn.(2)当n≥3时(以下再对x进行分类).①若x∈(0,+∞),显然有Pn>Qn.②若x=0,则Pn=Qn.③若x∈(-1,0),则P3-Q3=x3<0,所以P3<Q3.P4-Q4=4x3+x4=x3(4+x)<0,所以P4<Q4.猜想n≥3时,P3<Qn.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测证明:(ⅰ)当n=3时,已经证明了P3<Q3.(ⅱ)假设Pk<Qk(k≥3),则Pk+1=(1+x)Pk<(1+x)Qk=Qk+xQk即当n=k+1时,不等式成立.所以当n≥3,且x∈(-1,0)时,Pn<Qn.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测方法点睛(1)利用数学归纳法比较大小,关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系,猜测出证明的方向,再用数学归纳法证明结论成立.(2)本题除对n的不同取值会有Pn与Qn之间的大小变化,变量x也影响Pn与Qn的大小关系,这就要求我们在探索大小关系时,不能只顾“n”,而忽视其他变量(参数)的作用.4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测n=1成立时,左边计算所得的项是(

)A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案:C4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)4.4数学归纳法-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册课件(共25张PPT)数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件数学归纳法人教A版高中数学选择性必修第二册课件探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.