专题02空间点直线平面之间位置关系万变不离其宗2017版高中数学课本典型试题改编系列必修2解析

（2473）如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)BA′是异面直线？【解析】(1)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′B′A′＝5°，变式1.【 高考】从正方体六个面的对角线中任取两条覼作为一对，其中所成的角为60的共 A．24 B．30 C．48 D．60【答案】【解析】在正方体ABCDA'B'C'D'中，与上平面A'B'C'D'中一条对角A'C'成60的直线BC'，B'C，A'D,AD'，A'B,AB'，D'C,DCAB'CD中另一条对角线2变式2.【 BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值 3【答案】∠BCA=90°MNA1B1A11BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（

5

2【答案】BM与ANBM与AN所成角的余弦值．ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1 MN1B

OB

21BMANBM2BB1BM2BB11

26AN2ON2262在△ANO2

2AN

变式4.【2015高考】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平EM与AF所成的角为，则cos的最大值为.25

AB1，则AF ,0),E(,0,0) M(0y,1(0y1EM1211

(0,

zMzMEBcos 1

A8y 令8y1t,1t9

4y2

t t

,当t1时取等号 511所以cos

y0时，取得最大值 1y2 【变式题组考查的方式：高主要为选择和填空题【原题（必修2第49页例题4）下列命题中正确的个数 lαlαlαlαlα 命题②不正确，如右图中，A′BDCC′D′平行，CD不平行；命题③不正确，另一条直线有可能命题④正确，lαlα无公共点，lα（ 变式1.【2012高考】下列命题正确的是 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【答案】变式2.【2014高考 】若空间中四条直线两两不同的直线l1.l2.l3.l4，满足l1l2，l2//l3，l3l4， l1

AC1 AC11B1BB为lAD为lBC为ll//lAD为lAB为l 则ll；取AD为l，AB为l，则l与l异面

1 B因此l1l4的位置关系不确定，故选3.【2016高考浙江】已知互相垂直的平面，l.m，n满足m∥

A．m B．m C．n D．m【答案】【解析】由题意知 l,l

n,nl4.【20162

（1）如果mn,m,n//，那么 （2）如果m,n//，那么mn（3）如果m，那么m//如果m//n,//，那么m与所成的角和n与所成的角相等. ．(填写所有正确命题的编号）【变式题组考查的方式：高主要为选择和填空题通过不同题语言表达方式，逻辑推理能力、建模思想1.1.（2593）如图所示的一块木料中，BCA′C′.【解析】(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF. 则EF、BE、CF就是应画的线．(2)BCA′C′，BC′A′C′B′C′，BC∥B′C′.由(1)知，EF∥B′C′EF/ EF平面ACEF平面ACBC平面ACBE、CFAC1.【2015ABCA1B1C1ACBCBCCC1，AB1DB1CBC1E.（1） （2）BC1AB1（1）为1C的中点，又D为1的中点，因此D//C．又因为D1C1CC1C1C，所以D//平面1C1C．2.【2015DEFABC中,AB2DE,GHACBCBD//FGH若CFABCABBCCF

，BACFGHACFD所成的角（锐角）（II）DGCD，设CDGFO，连接DEFABCAB2DEGACGC,GC,

GC所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以；OH BD,又OH平面FGHBD平面BD//FGH3.【20152,ABCDA1B1C1D1AB=16,BC=10,AA18,E,F

上A1ED1F4E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形 EFGH如图所示；（Ⅱ）EM⊥ABMAM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGHEH=EF=BC=10，

67变式4.【2016年高考】如图，在四棱锥P-ABCD中ACDPAB900BCCD1AD，E为边AD2（Ⅱ）.（1）ABCD中，ABCD不平行，AB,CD，相交与点M(M平面PAB)，

点MED,EDED,所以四边形BCED是平行四边形，所以； EB,从而 EB,EB平面PBE，CM平面PBE,所以CMP平面（APNAP=PN，则所找的点可以是直MN上任意一点）【变式题组1.1.（2662）ABCD-A1B1C1D1中.A1B和平面A1B1CD所成的角B1CO，连结A1B1平面B1BCC1BO面A1B1BO,BOB1C,BO面A1DCB1A1OA1B在平面A1B1CDODC在RtVABO中由AB 知BAO2AB1121A1BA1B1CD平面所成的角为考查的方式：高主要为解答题第1问（，ABCD2，DEBE1，AC 2AEABC（2） （1）BDBCDEDEBE1CD2BDBC2

AC

2AB2AB2AC2BC2ACBCABCBCDEACBCDEDACFD所成角的余弦值（II） 7（I）ADBECFK，如图所示，BCFEABCACBC，ACBCKBFACEFBCBEEFFC1BC2，所以BCKF为CK的中点，BFCK，所以BFACFD.（II）BFACK，所以BDFBDACFDRtBFDBF

3,DF3，得cosBDF 21 所以直线BD与平面ACFD所成的角的余弦值 7ED EDAB=16BC=10AA18EFA1B1AC1D1A1ED1F4EF的平面C在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由 AF与平面4【答案（Ⅰ）见解析4（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；EHGF如图：

EMABMAMA1E4

EM

6AH10D为坐标原点，

10xnxyzEHGF的法向量，则nHE0即6y8z0所以可取n04,3AF104,8cos

n,AFn,AF4nn4AF与平面4

．4.【2015（12分）4ABCA1B1C12的正三E,FBCCC1的中点。AEFB1BCC1A1CA1ABB1所成的角为45，FAEC的体积。6 6 高主要为解答题（2693）如图，AB是⊙OPACPBC.【解析】证明设⊙OαBC在α内，所以 AB是⊙O的直径，所以∠BCA是直角，D，EBC，CC1上的点(DC)，AD⊥DE，FB1C1的中点．（I）见解析；(II)(1)ABC­A1B1C1CC1 2.【2014P-ABCDEFPCACAB的中点，PAACPA6BC8DF5，（2）BDEABC（1）DEPCACPA//DEPA平面DEFDE平面DEFPA

平面DEF（2）由（1）PA

DEPAACPEACFABDE1PA3EF1BC4，DF5DE2EF2DF2 DEEFEFACABCDE平面ABCDEBDEBDEABC．【20151ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，FABCD同一侧的两点，BEABCD，DFABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅱ）AECF所成角的余弦值333BDFEBDFE 23，2EG2FG2EF2 G为坐标原点，分别以GB,GCx

3(3

)，F（－1,0，222233

0∴

3，3

，CF ，223223故cos

.，所以直线AE与CF所成的角的余弦值 AE,AE,CFAE|AE||CF3336 6GBC的中点FGEFBED所成角的正弦值556（Ⅰ）BD的中点为O，连接OEOG，在BCD中，因为GBC所以OGDC且OG1DC1EF//ABABDCEFOGEF2，即四边形OGFEFGOEFGBEDOEBED，FG//BED.3证明：在ABD中，AD1,AB2,BAD600，由余弦定理可BD 3进而可得ADB900BDADAEDABCDBDABCD；AEDABCDADBDAED.BDBED，BEDAED【变式题组考查的方式：高主要为解答题第1问是证明线面与面面垂直的基本思想。空间想象力，逻辑推理能力和转化思想。速适应新的几何环境，从而完成证明，同时注意几何证明书写的规范。3.3.（279B1题）2ABCD（1）EABFBC的中点，将AED,DCFDEDF(2)BEBF1BCAEFD体积4[。]（1）ABCD知，∠DCF∠DAE90A1D

，且 A1FA1A1D⊥EF．（2）解：由AF=AE=1 2及勾股定理，得AE⊥A 1 SAEF8,所以VADEFVDAEF3SAEFA1D241 变式1.【2014高 】如图2,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,ABBCPC23EF//DCA其中点E.F分 段PD.PC上沿EF折叠后点 段AD上的点记为M,并且MFCF

AMDEFAMDEF

图CFMDFMCDE2 2【解析】（1）QPD平面ABCDPD平面PCD平面PCD平面ABCD，而平面PCD平面ABCD=CDMD平面ABCDMDCD,MD平面PCDQCF平面PCDMD又QCFMFMDMF平面MDF,且MDMFM,CF平面(2)CFMDF,CFDF PCD60,CDF30,从而CF

13EF//DC,DECE,即DE2,DE 3,PE333 1CDDE 3 MD

1

ME2PE233 3ME2PE233 322 44

626M

3

高考】底面边长为2的正三棱锥PABCP1P2P3，如图，2234P1P2P1P3P2P34，PABC2PABC内的投影为OBOACDDACO为ABCPOABCBO2BD23PO26 22

3262 3.【20151ABCDAD//BCBAD

,2

1ADa2EADO是OCBE的交点，将ABEBE2中A1BE的位置，A1BCDE.2(II)A1BEBCDEA1BCDE的体积为2

，求a的值 【答案】(I)

a6

【解析】(I)1ABBC1ADaEAD的中点BADBEAC 2BEA1OBEOCBE又CD//BE，所以CDA1OC(II)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDE又由(I)A1OBEA1OBCDE，A1OA1BCDE的高，由图1可知，AO 2AB 2a，平行四边形BCDE面积SBCABa2 ABCDE的为；V1SAO1a2

2a

2a3 由2a3362，得a66

4.【2014ABCDABBDCD1ABBD,CDBD将ABDBDABDBCD，如图求证：ABCDMADAD与平面MBC所成角的正弦值AA6 63【解析：(1)因为ABD平面BCD,平面ABD平面BCDBD,AB平面ABD,ABABBCD又CDBCDABCDADMBC所成角的正弦值为63【变式题组考查的方式：高主要为解答题德('νκειδηEuclidfAlexndra)，大城的得（前330约前275是古腊享有盛名数学家以译的西名着得生活跃于大馆而且很有可能曾在学学习直现在我都无法得生卒日期、地点和细节我们还有找到何得在世所画的所以现存的都出于画的想像。人之见，？我现在所写的，到后世将价值连城！”妻子嘲笑道：“难道让我们来世再结合在一起吗？你这书呆子。”得刚要分辩，只见妻子拿起他写的《几何原本》的一部分投入火炉中。得连忙来抢，可是已经来不及了。据说妻子烧掉的是《几何原本》中最后最的一章。但这个遗憾是无法弥补的，她烧的不仅仅是一些有用的书，她烧的是得血汗和智慧的结晶。如果上面这个故事是真，得张学习须循序进、刻钻研，赞投机取巧作风，狭的实用念。他的学生们简把他当偶像来。得在授生时，像个真正父亲那引导他，关心们。便问道：学习几，究竟有什么处？”是得身吩咐人说：，拿三钱币给这位先因为想在学中获实利古希的大多数者一样对于的科学究实际”价值不大在的。他爱为研而研究他谦恭，世无争平静地自的家里在那，数论、无理数理论等其他课题。德使用了公理化的方法。公理(axioms)就是确定的、不需证明的基本理为前提。这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多2000，被奉为必须遵守的严密思维理之上的初等几何学知识构成为一个严整的体系。得建立起来的几何学体系之严谨和完整，就连20世纪最杰出的大科学家也不能对他不另眼相看。说：“一个人当他最初接触动，那么他是不会成为一个科学家的。”德51.从一点到另一任意点公理是得自己，即：整体大于部分。虽然这条公理不像别的公理那么一望便知，不那么容易的出现说明人类在几何学方面已经达到了科学状态，在经验和的基础上建立了科学的、逻辑的理论。得位大大学数学教，已经大和苍天转为一幅错综复的图形构成的庞平面、立——把幅无边垠的图译成初数的有限语。尽管得化了他几何学但他坚持对几学的原进行透的研究以便他学们能充分解它。说，大国多禄米师从得习几何有一次于得一遍一地解释他原理表不耐烦国王问：“有有比你的方法捷一些学习几学的途？”答道：“，乡有两种路，一是供走的难走的路，一条是供走的坦。但是几学里，大只能走一条路学，是没什么大道，请明白。的这番后推广为“知无坦”，成传诵千的箴言。《几何原本为教书使用两千多年形成字的教科之中无它是最功的得的杰出工作使以前似的东黯然失。《几原》是用希文成的后来被译成多文字。首版于1482年即登堡发活字刷术3O年之后自那时以来《几何本已经了上种不版本在训练人逻辑理思维面《几何原本亚里土多的任何本有关辑的着影响都得在完整的绎推理构方面这是一十分杰的范。公正地说，得的本着作现代科产生的一个主因素。学绝不仅是把过细心察东西和概括出的东西集在一而已。学上的伟大成，就其因而言一方面将经验试进行结合另一方，需要心的分和演绎理。我们不清为什么学产生欧洲而是 或 但可以肯地说这非偶然。 牛顿、枷利略、和勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的。也许一些基本的原因，可以解释为讲，欧洲人不把得的几何学仅仅看作是抽象的体系；他们认为得的公设，以及由此而来的定理都是建立在客观现实之上的）。但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度）。直到1600年，得才被介绍到中国来。此后，又从事实质性的科学工作。在，情况也是如此。直到18世纪，人才知道得的着作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想。尽管今天有许多著名的科学家，但在得之前却没有一个。人们不禁会问，如果没得的奠基性工作，科学会在欧洲产产吗？如今，数学家们已经记识到，里得的几何学并不是能够设计出来的惟一的一种内在统一的几何体系。在过去的150，人们已经创出许多非得几何体系。自从爱因斯坦的广义相对论被接受以来，人们的确已经认识到，在实际的宇宙之中，得的几何学并非总是正确的。便如，在黑洞和中子星的周围，引力场极为强烈。在这种情况下，得的几何学无法准确地描述宇宙的情况。但是，这些情况是相当特殊的。在大多数情况下，不管怎样，人类知识的这些进展都不会水削弱里得学术成就的光芒。也不会因此贬低他在数 【2015高考】设，是两个不同的平面，m是直线且m⊂．“m∥”是“∥”的 【答案】【2014辽宁】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ A．若m//,n//,则m//n B．若m，n，则mnC．若m，mn，则n// D．若m//，mn，则n【答案】A．若mnm与nAB．若mn，则mnCmmnnnCD．若mmn，则nnn与相交【20161】平面ABCD-A1B1C1D1A,//CB1D1,II平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 3231323 【答案】【解析】如图,设平面

ABCDm,平面

因为//平面CB1D1,所以mmnn,则mn所成的角等于mn所成的角.AD,D1D1EB1C,连接CEB1D1,则CEmB1F1n,BDCEB1F1A1B,则mnA1B3所成的角,即为60,mn32

, 高考】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P 段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin的取值范围是（ [

33

[

63

[

6,22

[223【答案】ABCD中,ABACBDCD3ADBC2点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值 7【答案】8DNDNPPMPC则可知PMCANCM所成角（或其补角PM1AN2PN2PN2CN

，2222

33AC2AC2AM∴cosPMC

2822

22222287ANCM所成角的余弦值为8高考】如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形2CC且CC ，，分别为，V的中点2（I）V//平面（II）求证：平面C平面V（III）求三棱锥VC3（II）（III） 33（Ⅰ）所以OM//VB.又因为VB平面C，所以VB//平面C（Ⅱ）ACBCO的中点，所以OCAB又因为平面V平面C，且OC平面C，所以OC平面V. 所以平面C平面V. 】如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，AB∥DC,DCDC平面PAC平面PAB平面PAC设点EABPB上是否存在点F，使得//平面CF?说明理由.（Ⅱ）（III）（I）因为C平面CD，所以CDC．又因为DCC，所以DC平面C．（II）因为//DCDCC，所以C．因为CCD，所以C．所以平面C．所以平面平面C（III）棱上存在点F，使得/