高中数学竞赛试题一教学

a1已知0aba

b,y

ba,则x,y的大小关系

bxb

aa

bb

aabaab

bb

abab bbaab bbaab b b

bb

b ba,xyb解法

xy

，abba,x1,xybb bab

11 ab b b bab b ab b bab=

ba0,110,xy a解法a

bb与 的大小bb

x2

(x,2ab（aab

ba)22(abba)4b

2baabayCBA bx

ba

2b,xy51y

x的图象上取三个不同 （ba

abbbab bb bbkBCkAB

(ab)

b(baa

baxybbabatatbatat

f(t)

调递减而bba，f(b

f(ba

ba，xyabbyBAOa ab7x2abbyBAOa abb2，yxbbb

，ba）、

ba 由图形，显然有

b bab1，ab

1xya83Rt△ABC∠Ca

ab bbbab bbbabab从 AD-abababbDbb即

baxy评析比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法 作差比 理无理式常用此法2大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：a,b0时，

aa

比较a1aba,b0a1ab03xy ,213 213 2123 23a1,b2x3

,y

1

13 113

,xyxyxy12a1,b2xy（也只能是有限组值x12abxyxyxyxyab已知0abx

b,y

ba,则x,y的大小关系 Ax

Bx

Cx

Dx此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D题 设abc,nN，且 恒成立，则n的最大值 a b aA、 C、

a

a

a ac

a

a bc解法1原式abbcn．na ．而a bc

babba

bcab

2+bca

ab

4，且当ba

ac2b时取等abaa aa bc

4．n4．故选C2abc，ab0bc0ac0a

a

a

nabbc．由abbcabbc24，abb

4，故由已知得

n4，选C解法 由abc，知ab0,bc0,ac0，有na ．a bc 1124a bc

a bc即acabbc

4n4．故选C 4abc，ab0bc0ac0．anabb

．记k

aabbck

abb

4n4．故选C

0.a ba b a b

．比较得n4．故选Ca评 由已知，可得na 恒成立．根 “若afxaa bcaf 若afx恒成立则af 的最小值就是所求n的最大值

a bc 故问题转化为求a 的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同a bc 变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1ba2abR”；解法2运用了 ab

1 “ab 3ab

b 5运用“ a此题使我们联想到高中数学第二册（上）P30第8题已知abc

a

b

c

0证：令abx,bcyx0y0，则acxyx0, 11 x2y2xyab bc ca xy xyxyx0,

．

0 a

b

c

0设abx,bcyx0y0，则acxy

a

b

1

1 恒成立．也就是nx 恒成立．x 4恒成立 x 由题意得n4．故选C例设a,bc

ab

c

c2a

ab2

．证明设bcxcayabz则abc1xyzxyz0222a22

ax

xyxy0，

y

a x

a

ab

ab

ab , x xy 2ab a2b2

abc，

c

abc2 2

b

c

a

命题若a1a2an0a

a

a

a

a1a2an0，a1a2a2a3an1an都大于0 x,yR(i1,

nn,,

xixnyi xny

,当且仅当x1x2

1an1an1 a1a2a2a3 an1

n．a1 a2

a1a1a2an0，a1a2,a2a3 ,an1an0．故

1a1a)aaaa a a 11 a a n12，即

1

a2

1an1

0 a1

a2

an1

．a1abc，ab0,bc0,ac0n4．故选C

1a

b

abb

a

由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设a1a2a3 a2001，并1a2000m 1a2000

4，n ，则m与n的大小关系 a1 a2

a1A、m

B、m

C、m

D、m a1a2a3 a2000a2001

m

．故选Ca2a2b22题 设实数m,n,x,y满足m2n2a，x2y2ba2a2b22A2

a

2

解法 设m

acos,n

asin,x

bcos,y

mxny

abcoscos

abcos()

即(mxny

.解法

m2n2abm2bn2b,又x2y2b b(mxny)

bmx (bm)2a(bn)2ab(m(bm)2a(bn)2a

babnybab

2

mxbb

ab,

mxbab

any即mynx时取等号，（mxny)max

(mxny)2m2x22mxnyn2y2m2x2m2y2n2x2n2m2n2x2y2ab,mxny

ab,当且仅当mynx时取等号，故mx

24pmnqxypqpqcos

pq,p

pq即mxny2m2n2

x2y2

pqmy

5若设mxnyk，则直线mxnykx2y2bkm2 bkm2

mxny

ab,mx

ab6z1mniz2xyiz1z2mnixyimxnynx

mxnymxny,mxny

mxnymxny2nx

ab当且仅当mynx时取等号，故mx

．m2x27fXm2n2X22mxnyXm2x2fXmXx2nXy20故4mxny24m2n2x2y24mxny24ab0mxny

ab.mx

CD解法8由m2n2a,x2y2b还可构造图形（如图 CD

m,BC n babaBbabaBD

x,AD

y,AB 为圆的直径，由定理,ACBDBC

ABCDAB2,bbabamxbbaba

ny

，从而得mxny ，当且仅当my

mx

时取等号．mx 评析1a2b2 解法2运用基本不等式ab 将mxny放大为关于m2n2与x2

m2

n2

m2n2x2y2

a amxny

2ax①且b②，而若①，②式同时取得，则m2n2x2y2，即ab,这与题设！即当ab时，mxny取a 2465mxnykx2y2b的距离小于等于半径，得kmxny

7fXm2n2X22mxny

y2fX为非负式（0）fX0，故有0，而沟通解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用定理及圆的弦小于拓展推广若a2a2 a2p,b2b2 b2q,则abqp qp

1 2 （

aibii1 a2pnqaa2pnqa222p1 qap2 qapn aba

ab

qab

qab

qab1 2

n

p

p

p npq pqpq pq

a

b

n an

nb2n

p1

qpqp 22 qa2a2a2

q 12 p12

b2b2b2 n

q q

pq

当且仅q

q 2

a

ab

p

1 2

nn本推广实际就是由著名的Cauchy（）不等aba

ab2a2a2a2b2b2b

a2an1 2

n

取等号）ax例已知abcxyzR且a2b3c41238ax

czcz

by解a2b3c4by

a2

2b2

3c24,1238 32 z

＝8

czcz

1x a 1x

2y2b 2y

11x2y3z3c 3z

4424axby 4axby 4

2 3axbycz1 484 484axbycz 4axbycz 4m1的一切实数m，使不等式2x1m(x21x的取值范围是x21

x21

1

x21

x21解法1题设等价于m2x1或m2x1或2x10，即

2x1或12x1 x2

x2

x2

x2x212x1

,所以1x2

331x1或x1，即x 1,2)33x210x1f(m是mm1，即1m1 f(1)x212x1 所以f(m)在1,1上的图象恒在m轴的下方故有 3f(1)x212x13

x22x2x22x

1x

(x1)x1f(m)1x1f(m)3不合题意3 1x2.3评析x的不等式或不等式组.1x21000x的不等式组，从而通f(mx21m2x1在1,1上的图象恒在m轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此5当0xa时,不等式x

(a

2恒成立,则a的最大值 解法10xa时,

axx

a

①,又有

(ax

x (a

②,②+①×2,得a2xx

2axx(a

6,2x2

1

a2(a(a

6,2x2

a(a

8

1 8x (a a82,得0a2,a

2

21

(1

1)2(1

1)2,又1

4 1x

(ax)2

a

a

a aaxxa

)2

21

42,即1

8,当且仅

(ax)2 (a

x (a aaxxa且axxa

,即x

时取等号. 1

2恒成立 a x (a 820a2.于是

2.11(a11(a2

,由0xax

0,

a

0.由“的平方平均值不小于它们的调和平均值”,amax2.

1,a2即可,0a2,x(a解法41

2

1x2 x22①成立，又1x22 (a

x2 (a xa只要满足

(a

x

0②就能使①恒成立.由②式，得x2(a

1，x(ax)1x2ax10xa0ax0a2a2400a

amax2解法5设xcos2,axsin2（0xa），则1 11sin2

(a2

a2cos4 =

cos1

82

2.(sin222)(sin22a2sin4

a

1sin4

a 1）

，即2

2sin4

，则

1(当sin

，于是1 x (a

8a

2,0a2,

2O解法6设X1,Y (X0,Y0),O a22X2Y22表示在XOY坐标系第一象限内以原点为圆心 22半径的圆及其外部.由X1,Y ,得aXYXY, aaXYXY

XY,XY

4XYa

a

位于第.XY

4X0)与圆弧X2Y2

X0，Y0）相切 相离82，即0aa

2 7xiyiR(i1,2,n，则12n(x

x

(当且仅当12nk（常数时取等号.”0xa，ax0.y1y2 y 由柯西不等式，有(1212)(1 )(1

()

1 4x (a

a

a 2(x

(a

42得() x()

(a a

，当且仅当x 时取等号，由aaa

20a

2an,则aa11an,则aa11 (n aa a

,当且仅当 a1a2,an成等差数列时取等号.2x2(ax)22(x0)2(ax)2 (31)2 x0

ax

a0

2 x2

(a a

，当且仅当xax，即x 时取等号2令82，得0aa

2评析1

21

2.故问题的实质就是求1 x (a

x2

(ax)2

(a最小值（关于a的式子）2的解.因而在0xa

(a

问题的关键.12”,2运用配方再放缩,34巧妙地将原问题转化为一个含参（a）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.6将原问题转化为解析几何问题处理.7、8则是运用一些现成的结论（读者拓展 1推广 若0x1x2 xn1a，则x21

x)2(a

22n1 22

，当且仅当x1x2,xn1a成等差数列时取等号证明由已知，0x1x2 xn1a，则x2x10，x3x20，,axn10.根不等式及解法7运用的不等式（）,有n1 x

(xx

(a

)2

1a n21a

x

x

a

, x

x (a

x1x2,xn1a成等差数列时取等号bkx推广2若0xx a，bR(i1,2,,n),kN,则 xbk

bk

(b

1)k 1 ，当且仅当a i时取等号1nkk1nkk

x)k

(a

n1

证明不妨设n

x1,

x1,,

a1

n

，M

(b(b 由已知得ibk

i(i12,n)且

a令

i， i i

aa

1.由均值不等式， ckick

Mci

i(k1)k1Mki

k1

kb即 bc

(k

bn

kbi，则knbk

k

nbk

nk

knbk

nk kMc

(k1)(b

(b)

，即

(bi) ckc

cc

a a

n

nanbk

(bi

i i ，当且仅当ai

b i时取等号

a

b b i

bk

bk

b (b

bk 2 1 .kxx k (axx k

6fx

x,0a

fsincos22 22 bf

sincos，c

f sin ，那么a、b、c的大小关系是 sin Aac

B、bc

C、cb

D、ab1设sinpcosq.pq2

pqfxfpqf

pq，即ab

p p ，pq 2 2

.f

2pq

pq，即cbabcp

pq2

6

sin

2

sin3 3

11 4

，sin，sin4 sin 2sincos

3

，sin1

，f

是减函数，sin sin 41 3 3 fsincosf4

sincos

f

ab

sincos

评析fx单调递增（减），x1x2fx1

fx2x1x2fx1fx2因为正确答案应对一切0都正确，故又可以运用特殊值法.对022 22 2A、B6cos0.absin

22sincos2

sin logsin10，ab.又 sinsin

2sinsin

sin2sinsin2sinbc，abcx 2 2题7已知a ，不等式 的解 23 （13题2logax

2

2 2 原不等式即 2

.指数函数 是减函数，a

原不等式化为3

312112

3

12

2log2

122

.又对数函数 x是减函数，x1

，即 2x12，解得1x3.对数函数 x1的定义域是x1的实数，原不等式的解是1x 22或1x评析此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本⑴若0a1afxagxfxgx⑵若a1afxagxfxgx ⑶若0a1,则logfxloggxfxgx0 ⑷若a1,则logfxloggx0fxgx aclogca（a0c0且c1）；（化为指数式calogca（c0且c1）.（化为对数式c2323log32232log3233例不等式

x x的解集

解两边取常用对数，得 x2lgx，lg2xlgx0,lg2x4lgx0,lgx0

或lgx4,0x1

x

应当，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号01，则不等号方向改变.xaa0的解集是xaa0的解集是aa；xaa0xaa0的解集是,ax2⑴已知常数0x2

cotx8的解集 4 4 x x

fxlog22log242log1x7log1x30f

的最小值 2x2 2x2⑶不等式 22x2 2x2

（23题

31的解 3x（A）x62x3x3（C）x

（B）x6x（D）x答案⑴,2 74 ⑵3 ⑶1 5,13 1 18

x

的解集是,实数t的取值范围(用区间形式) 解法

x

两边平方并整理得2x22txt210,此方程无实根,14t28t214t280t22.又t0,1

.故填

1x2y21o 解法1x2y21o yxt的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,在半圆的上方,yxty

直线应t 2.故填解法 由1x20,得1x1.故x

,0,

,则已知不等式就是sincost,即tsincossincos

sin,又,3,sincos[1,2].由题意得t 故填

244 244

411评析这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.11据是不等式

x

的解集是等价于不等式t

x恒成立有人认为不等式11

的解集是等价于不等式t

x有解,这种观点是错误的.事实上,t 时,不111式t

x就有解(比如x 就是其一个解),而t 时,不等

xt

x111111x 的解集却不是(0就是它的一个解拓展通过上面的分析,并作进一步的研究,结论已知t为参数

f(x的值域是a,b若tf(x恒成立,则ta若tf(x恒成立,则tb若tf(x的解集是,则tb若tf(x的解集是,则ta若tf(x有解,则tb若tf(x有解,则taf(x的值域改为ab、ab、ab等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．1.不等式1x23xt的解集是，则实数t．2.不等式1x23xt的解集是，则实数t．3.不等式1x23xt