数学人教九年级上册（2014年新编）第二十三章 旋转（章末测试）

第二十三章旋转一、单选题（每题4分，共40分）1．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．2．如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是()

A．AB=A′B′，BC=B′C′B．AB∥A′B′，BC∥B′CC．S△ABC=S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′【答案】D【提示】根据成中心对称图形的性质：对应边平行且相等，对应角相等，图形全等，面积相等进行判断.【详解】解：∵△ABC与△A′BC′是成中心对称的两个图形，

∴AB=A′B′，BC=B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′，S△ABC=S△A′B′C′，

无法得到：△ABC≌△A′OC′．所以选D.3．如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转150°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积(

)A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大【详解】∵四边形ABCD、四边形OEFG是两个边长相等正方形，∴∠BOC=∠EOG=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，∴∠BOC-∠COM=∠EOG-∠COM，即∠BOM=∠CON，∵在△BOM和△CON中，∴△BOM≌△CON，∴两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积是S△COM+S△CNO=S△COM+S△BOM=S△BOC=S正方形ABCD，即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于S正方形ABCD，故选A．4．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（

）A．点M B．格点N C．格点P D．格点Q【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；故选：B．5．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（

）A． B． C． D．【详解】解：设=x°.根据旋转的性质，得∠C=∠=x°，=AC,=AB.∴∠=∠B.∵，∴∠C=∠CA=x°.∴∠=∠C+∠CA=2x°.∴∠B=2x°.∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，∴x+2x+108=180.解得x=24.∴的度数为24°.故选：C.6．如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=，∴选项A、C不一定正确，∴∠A=∠EBC，∴选项D正确．∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于，∴选项B不一定正确；故选D．7．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（）A．1 B．3 C．5 D．7【详解】解：∵点与点关于原点对称，∴，，解得：，，则故选C.8．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2019次得到正方形，那么点的坐标是(

)A． B． C． D．【详解】四边形OABC是正方形，且，，将正方形OABC绕点O逆时针旋转后得到正方形，∴点A1的横坐标为1，点A1的纵坐标为1，，继续旋转则，，A4(0，-1)，A5，A6(-1，0)，A7，A8(0，1)，A9，……，发现是8次一循环，所以…余3，点的坐标为，故选A．9．如图，在小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（）A． B． C． D．【详解】如图所示，n的最小值为3．故选C．10．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明，即D选项正确；【详解】由旋转可知，∵点A，D，E在同一条直线上，∴，∵，∴，故A选项错误，不符合题意；由旋转可知，∵为钝角，∴，∴，故B选项错误，不符合题意；∵，∴，故C选项错误，不符合题意；由旋转可知，∵，∴为等边三角形，∴．∴，∴，故D选项正确，符合题意；故选D．二、填空题（每题4分，共20分）11．如图，将三个同样的正方形的一个顶点重合放置，那么的度数为__________．【详解】解：如图：∠BOD=90°-∠A0B=90°-30°=60°∠EOC=90°-∠EOF=90°-40°=50°又：∠1=∠BOD+∠EOC-∠BOE.∠1=60°+50°-90°=20°故答案是：20°.12．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为_____．【详解】解：平面直角坐标系如图所示，旋转中心是P点，P（4，2），故答案为：（4，2）．13．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．【详解】∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12．故答案是：12．14．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．∴点O与正方形边上的所有点的连线中，最小，等于1，最大，等于．∵，∴点P与正方形边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在上时，最小值．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．故答案为：15．如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________．【分析】过点A作于M，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．【详解】过点A作于M，∵，∴，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，，∴在中，；故答案为8．三、解答题（16题8分，17-19题每题9分，20题11分，21题14分）16．图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将向右平移5个单位得到，画出；（2）将（1）中的绕点C1逆时针旋转得到，画出．【详解】解：（1）如下图所示，为所求；（2）如下图所示，为所求；17已知:如图，正方形ABCD,E为边AD上一点，ΔABE绕点A逆时针旋转后得到ΔADF．1如果∠AEB=65∘，求2与DF的位置关系如何?说明理由．【详解】解：（1）根据旋转的性质可知：△AFD≌△AEB，即AE＝AF，∠DAF＝90°，∠AEB＝∠DFA＝65°，∴∠AFE＝45°，∴∠DFE＝∠DFA－∠EFA＝20°（2）延长BE与DF相交于点G．∵∠DAF＝90°，∴∠DFA＋∠ADF＝90°，∵∠EBA＝∠FDA，∴∠DFA＋∠EBA＝90°，∴BG⊥DF，即BE与DF互相垂直．18．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）【详解】（1）解：画出下列其中一种即可（2）解：画出下列其中一种即可19．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A,D1,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）.(1)对称中心的坐标；(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标.【详解】（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2），∴对称中心的坐标是（0，2.5）．（2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2，∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3），∴A1的坐标是（0，1），∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3），综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）．20．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；A．矩形

B．正五边形

C．菱形

D．正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；

（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（

）个；A．0

B．1

C．2

D．3（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．【详解】解：（1）矩形、正五边形、菱形、正六边形都是旋转对称图形，但正五边形不是中心对称图形，故选：B．（2）是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有(1)(3)(5)．故答案为：(1)(3)(5)．（3）①中心对称图形，旋转180°一定会和本身重合，是旋转对称图形；故命题①正确；②等腰三角形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后，不一定能与自身重合，只有等边三角形是旋转对称图形，故②不正确；③圆具有旋转不变性，绕圆心旋转任意角度一定能与自身重合，是旋转对称图形；故命题③正确；即命题中①③正确，故选：C．（4）图形如图所示：21．探究：如图1和2,四边形中,已知，，点，分别在、上，．（1）①如图1,若、都是直角，把绕点逆时针旋转至，使与重合，则能证得，请写出推理过程；②如图2，若、都不是直角，则当与满足数量关系_______时，仍有;（2）拓展：如图3,在中，,，点、均在边上,且．若，求的长．【分析】（1）①根据旋转的性质得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；②根据旋转的性质得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一条直线上，根据SAS推出△EAF≌△GAF，根据全等三角形的性质得出EF＝GF，即可求出答案；（2）根据等腰直角三角形性质好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根据旋转的性质得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，证△FAD≌△EAD，