2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一（下）期末数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年辽宁省沈阳市联合体高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.cos1560°A.12 B.−12 C.2.已知i为虚数单位，复数z=2−i2+A.35+45i B.353.如图，一个水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图是矩形A′B′C′D′，O′A′

A.20 B.40 C.80 D.1604.已知0<α<π2，cosA.52 B.−212 5.已知△ABC的外接圆半径为1，A=πA.12 B.1 C.326.已知向量a、b满足|a|=2，|b|=2，a⋅bA.12 B.−12 C.7.函数y=tan(1A. B.

C. D.8.龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cmA.581πcm3 B.872πc二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0

B.|2+i|=2

C.若z10.已知A，B为点，l，m，n为直线，α，β为平面，则下列命题成立的是(

)A.若m⊥l，n⊥l，则m/​/n

B.若m⊥α，m/​/n，n/​/β，则α⊥β

C.11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是A.若A>B，则sinA>sinB

B.若b=acosC+c12.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，A.BD⊥平面PAC

B.平面PAD1//平面BDE

C.三棱锥

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sinα+cos14.已知复数z1=3+i，z2=−1+3i(15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD=80，∠ADB=135°，∠BDC16.已知四棱锥P−ABCD的底面四边形ABCD是边长为3的正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知复数z=(m2−m−20)+(m2+2m−35)18.(本小题12.0分)

如图，AB为半圆O的直径，|AB|=2，C为AB上一点(不含端点)．

(1)用向量的方法证明AC⊥BC；

(2)若C是A19.(本小题12.0分)

如图，在正六棱锥S−ABCDEF中，O为底面中心，SO=8，OB=4．

(1)若M，N分别是棱SB20.(本小题12.0分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2bsinA=atanB．

(21.(本小题12.0分)

已知向量a=(cosx,cosx)，b=(cosx,3sinx)，函数f(x)=2a⋅b，22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC=90°，AD//BC，AB⊥AC，AB

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：cos1560°=cos(360°×2.【答案】A

【解析】解：z=2−i2+i=(2−i)23.【答案】C

【解析】解：根据题意，该图形的直观图为矩形A′B′C′D′，其中O′A′=4，A′B′=3，

则O′B′=9+16=5，

4.【答案】C

【解析】解：因为0<α<π2，

所以π6<α+π6<2π3，

因为cos(α+5.【答案】D

【解析】解：由正弦定理可得ABsinC=ACsinB=BCsinA=6.【答案】C

【解析】解：因为|a|=2，|b|=2，a⋅b=−2，

所以|a+b|=7.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．

先令tan(12x−13π)=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan(12x−13π)的最小正周期为2π，排除B．

【解答】

解：令tan(12x−18.【答案】B

【解析】解：如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC与FD于点G．

根据题意，AB=20cm，CD=10cm，AC=15cm，EC=6cm，

设CG=xcm，EF=ycm，

9.【答案】AD【解析】解：i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，故A正确；

|2+i|=22+12=5，故B错误；

z=(1−2i)210.【答案】BC【解析】解：A，B为点，l，m，n为直线，α，β为平面，

对于A，若m⊥l，n⊥l，则m与n相交、平行或异面，故A错误；

对于B，若m⊥α，m/​/n，n/​/β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；

对于C，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则由公理二得l⊂α，故C正确；

对于D，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β11.【答案】AB【解析】解：对于A：在三角形中，由A>B可得a>b，根据正弦定理可得sinA>sinB，故A正确；

对于B：因为b=acosC+csinA，

由正弦定理可得sinB=sinAcosC+sinCsinA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

12.【答案】AB【解析】解：如图，

由正方体的结构特征可知，AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥BD，

BD⊥AC，AC∩AA1=A，则BD⊥平面AA1C1C，即BD⊥平面PAC，故A正确；

∵BD/​/B1D1，BD⊄平面PAD1，B1D1⊂平面PAD1，∴BD/​/平面PAD1，

设AC中点为O，∵E为PC的中点，∴OE/​/PA，

∵OE⊄平面P13.【答案】916【解析】解：∵sinα+cosα=54，

∴(14.【答案】5

【解析】解：由题意可知，OZ1=(3,1)，OZ2=(−1,3)，

则OZ1⋅OZ2=−3+315.【答案】80【解析】【分析】

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了推理与计算能力，属于中档题．

根据题意画出图形，在△BCD中，利用正弦定理求出BD的值，在△ACD中，利用等角对等边求出AD的值，再在△ABD中，由余弦定理求得AB的值．

【解答】

解：如图所示，

在△BCD中，CD=80，∠BDC=15°，

∠BCD=∠ACB+∠DCA=120°+15°=135°，

∴∠CBD16.【答案】2

【解析】解：因为PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PA⊥AC，

连接MA，由题意可知三棱锥M−BCD的外接球即四棱锥M−ABCD的外接球，

则当三棱锥M−BCD外接球的体积最小时，四棱锥M−ABCD外接球的半径最小，

设四棱锥M−ABCD外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点O1，

当O与O1不重合时，连接OO1，易知OO1⊥平面ABCD，则OO1⊥O1C，

连接OC，在Rt△OO1C中，R=OC>O1C，

当O与O1重合时，R=OC=O1C，

17.【答案】解：(1)因为复数z=(m2−m−20)+(m2+2m−【解析】(1)根据实部为0，虚部不为0得到方程(不等式)组，解得即可；

(2)首先求出z18.【答案】(1)证明：建立平面直角坐标系，如图所示：

由题意知，|OB|=1，A(−1,0)，B(1,0)，设C(a,b)，

则|OB|=a2+b2=1，AC=(a+1,b)，BC=(a−1,b【解析】(1)建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算AC⋅BC=0即可；19.【答案】证明：(1)因为M，N分别是棱SB，SC的中点，

所以MN/​/BC，在正六边形ABCDEF中，∠AOB=∠OBC=60°，所以AD//BC，

所以MN/​/AD，

又MN⊄平面SAD，AD⊂【解析】(1)依题意可得MN/​/BC，再由正六边形的性质得到AD//BC，即可得得证；

(220.【答案】解：(1)因为2bsinA=atanB=asinBcosB，即2bsinAcosB=asinB，

由正弦定理可得2sinBsinAcosB=si【解析】(1)将切化弦，再由正弦定理将边化角，即可得解；

(2)利用余弦定理及基本不等式求出b21.【答案】解：(1)f(x)=2a⋅b=2cos2x+23cosxsinx=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+π6)+1，

∴函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，值域为[−1,3]；

(2【解析】(1)由平面向量的数量积运算和三角恒等变换化简求出f(x)，再由三角函数的性质即可求；

(2)求出f(22.【答案】解：(1)证明：由AB⊥AC,AB=AC=2，

即△ABC为等腰直角三角形，

又ABCD是直角梯形且∠ADC=90°，且AD//BC，

所以，∠CAD=