作业03：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业（含解析）

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作业03：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（）

①若，则；②若，则；③若，则

A．①和③B．②和③C．①和②D．①②③都正确

2．下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

3．下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

4．某种病毒直径为，用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

5．已知，则值为（）

A．10B．11C．15D．16

6．下列各式中，是最简分式的是（）

A．B．C．D．

7．某工程队需要铺设一条长为米的公路，铺设时“…”，设原计划每天铺设米，可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失条件应补为（）

A．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成

B．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果提前6天完成

C．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果延期6天完成

D．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果延期6天完成

8．为整数，符合条件的整数的个数是（）

A．1B．2C．4D．5

9．如图，若，则表示的值的点落在()

A．段①B．段②C．段③D．段④

10．若整数a既能使分式方程有整数解，且使一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的整数a的值有（）个

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

11．关于x的方程的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为_____．

12．若两个数a，b满足，则称b是a的“溜数”．若x是48的“溜数”，则________．

13．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为_____．

14．定义一种新运算，已知，当时，；当时，，若，则______．

15．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．

甲种糖乙种糖丙种糖

千克数

单价（元/千克）

商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖____千克．

16．材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．材料二：一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数学与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若，，则记．若s，t都是“双巧数”，其中，，（，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，则________；当时，的最大值为________．

17．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是___________．

18．关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是______．

19．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______．

20．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．

（1）根据上述规定，填空：＝_______；

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．

小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．

请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______

三、解答题

21．2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？

22．甲、乙两小区准备安装两款智能快递柜，每个款能满足快递需求人数比款多人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有人、人．如果甲小区全部安装款智能快递柜，乙小区全部安装款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同．

(1)设每个款能满足快递需求人数为人，求的值．

(2)如果甲小区安装款和款智能快递柜共个，其中安装款的个数比安装款的倍还多个，分别求甲小区款和款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求．

(3)已知购买款需元/个，购买款需元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由．

23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1500元，购进乙种粽子的金额是1000元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1450元，问最多购进多少个甲种粽子？

24．先化简，再求值：，其中m为满足的整数．

25．成都环城生态公园项目是天府绿道体系“三环”中的重要一环，按照总体规划，环城生态公园项目将建成“5421”体系，让环城生态公园成为“绿色田园、天然公园、市民乐园”．在成都某个生态公园建设工程中，甲队单独施工50天可以完成该项工程，若甲队施工23天之后乙队加入，两队还需再同时施工12天，才能完成该项工程．若乙队单独施工完成此项工程需要多少天？

26．为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同．

(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．

(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案．

27．为提升城市形象，缓解交通拥堵状况，某市积极实施城市快速路整修工程．现有甲、乙两个工程队参与整修．已知甲工程队单独整修600米道路与乙工程队单独整修750米道路所用天数相同，乙队每天比甲队多整修30米．

(1)甲、乙两队每天各整修道路多少米？

(2)这段快速路全长3000米．现由甲、乙两工程队从两端同时整修，各用了正整数天完成了任务，且甲工程队修路的天数不足15天，问甲、乙两工程队各修了多少天？

28．先化简，再求值：，其中，

29．北仑的虾年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲．因其使用了当地甘甜清澈的虾龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾年糕．如今，虾年糕的品牌越打越响，虾年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番薯年糕．已知120元购买的白年糕比120元购买的艾草年糕重6斤，艾草年糕价格是白年糕价格的倍．

(1)白年糕和艾草年糕的价格分别为多少元/斤？

(2)为提升品牌影响力，现将这两种年糕进行包装（5斤1盒），小甬用300元恰好购买这两种包装年糕共13盒．小甬购买白年糕和艾草年糕各多少盒？

30．小能到某体育用品商店购物，他已选定了需购买的篮球和羽毛球拍的种类，若购买3个篮球和8副羽毛球拍共需416元；若购买6个篮球和1副羽毛球拍共需232元．

(1)求每个篮球和每副羽毛球拍各需多少元？

(2)“暑假”期间，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售，小能发现用256元购买篮球的个数比用480元购买羽毛球拍的副数少5．

①求商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？

②小能决定在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，最后扫码支付了281.6元，问他有几种购买方案，请说明理由．

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作业03：整式的乘法与因式分解-2023八年级升九年级数学暑假巩固提高作业

一、单选题

1．按顺序排列的若干个数：，，，……，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：，……，下列选项正确是（）

①若，则；②若，则；③若，则

A．①和③B．②和③C．①和②D．①②③都正确

【答案】C

【分析】利用题干的规定设，求出，，，，然后总结出规律，①求出，再根据求出即可；②求出，然后根据，利用规律求解即可；③求出，然后根据题意列式求出a的值即可．

【详解】解：设，

则，，，，……，

∴，，，……，，（是正整数）中，以a，，为一个循环组依次循环，

①∵，

∴，

若，则，

∴，

∴，①正确；

②若，则，，

∴，

∵，

∴，②正确；

③∵，

∴，

∵，，，，

∴，

解得，

经检验，a的值是方程的解，

∴，③错误．

故选：C．

【点睛】本题考查了规律型—数字的变化类，分式的运算，解分式方程，利用平方根解方程，根据题干的规定找出式子的规律是解题的关键．

2．下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【分析】根据分式的基本性质和运算法则，逐一判断，即可解答．

【详解】解：，故A错误；

，故B错误；

，故C正确；

，故D错误，

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的基本性质和运算法则，熟知该法则是解题的关键．

3．下列计算正确的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【分析】根据单项式乘以单项式、多项式除以单项式、积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式运算法则计算各项，然后再进行判断即可．

【详解】解：A.，故原选项计算错误，不符合题意；

B.，计算正确，符合题意；

C.，故原选项计算错误，不符合题意；

D.，故原选项计算错误，不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式、多项式除以单项式、积的乘方和幂的乘方以及单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．

4．某种病毒直径为，用科学记数法表示为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：．

故选：B．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．已知，则值为（）

A．10B．11C．15D．16

【答案】C

【分析】根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案．

【详解】解：∵，且根据题意有：，

∴，即，

即，

∴，即，

则

．

故选：C．

【点睛】此题考查已知式子的值求分式的值，完全平方公式，由，得到，是解题的关键．

6．下列各式中，是最简分式的是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可得出答案．

【详解】解：A、，故A不符合题意；

B、不能继续化简了，是最简分式，故选项B符合题意；

C、，故选项C不符合题意；

D、，故选项D不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查最简分式的识别，解题的关键是掌握最简分式的定义．

7．某工程队需要铺设一条长为米的公路，铺设时“…”，设原计划每天铺设米，可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失条件应补为（）

A．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果提前6天完成

B．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果提前6天完成

C．实际每天铺设比原计划多铺设20米，结果延期6天完成

D．实际每天铺设比原计划少铺设20米，结果延期6天完成

【答案】A

【分析】根据所列方程中各部分的含义推断出所欠缺的条件，即可解答．

【详解】∵设原计划每天铺设米

∴方程中表示原计划铺设的时间（天数），表示实际每天铺设了米，即实际比原计划每天多铺设了20米，表示实际铺设的时间（天数），表示原计划铺设的时间比实际铺设的时间少6天，即结果提现6天完成．

故选：A

【点睛】本题考查列方程解决实际问题，理解方程的意义是解题的关键．

8．为整数，符合条件的整数的个数是（）

A．1B．2C．4D．5

【答案】B

【分析】当时，去掉绝对值后利用分离常数法得到，再根据题意可得为整数，由此可得或；同理当时，可得为整数，求出（舍去）；由此即可得到答案．

【详解】解：当时，

，

∵为整数，

∴为整数，

∴或，

∴或；

当时，

，

∵为整数，

∴为整数，

∴，

∴（舍去）；

综上所述，或；

故选B．

【点睛】本题主要考查了根据分式值的情况求未知数，熟知分离常数法和分式的运算法则是解题的关键．

9．如图，若，则表示的值的点落在()

A．段①B．段②C．段③D．段④

【答案】B

【分析】把变形得，代入即可求出分式的值，再看值的点落在的位置．

【详解】解：∵，

，

∴==，

∴表示的值的点落在段②，

故选：B．

【点睛】本题考查了分式的值，能正确把变形为是解此题的关键．

10．若整数a既能使分式方程有整数解，且使一次函数的图象不经过第二象限，则符合条件的整数a的值有（）个

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】依据关于的一次函数的图象不经过第二象限，求得的取值范围，依据关于的分式方程有整数解求得的值，即可得到满足条件的整数的个数．

【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，

且．

．

解分式方程得到：且．

关于的分式方程有整数解，

或或且．

解得：．

整数的值为：、0共有3个．

故选：B．

【点睛】此题考查了一次函数性质以及分式方程的解．注意根据题意求得使得关于的分式方程有整数解，且关于的一次函数的图象不经过第二象限的的值是解题的关键．

二、填空题

11．关于x的方程的解是正数，则符合条件的a的所有正整数解之和为_____．

【答案】7

【分析】解分式方程，用表示，再根据题意列不等式得到a的所有正整数解，即可解答，在解答过程中需要注意分式方程无解的情况．

【详解】解：，

两边乘得，

移项得，

根据题意可得，且，

且，

的所有正整数解为，

经检验当或2或4时，是原方程的解，

的所有正整数解之和为，

故答案为：7．

【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求值，一元一次不等式的整数解，注意分式方程无解的情况是解题的关键．

12．若两个数a，b满足，则称b是a的“溜数”．若x是48的“溜数”，则________．

【答案】1

【分析】根据“溜数”的定义进行计算求解即可．

【详解】解：若x是48的“溜数”，

则有，

解得，

经检验，是原方程的解．

故答案为：1．

【点睛】本题考查了新定义问题，读懂题意，理解“溜数”的定义是解题的关键．

13．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是整数，则符合条件的所有整数m的和为_____．

【答案】

【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为，列出不等式求得m的范围；解分式方程，根据方程有非负整数解，且列出不等式，求得m的范围；综上所述，求得m的范围．根据m为整数，求出m的值，最后求和即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∵不等式组的解集为，

∴；

分式方程两边都乘以得：，

解得：，

∵分式方程的解是整数，

∴或或或，

∵，

∴的值为，3，0，，，，

a为偶数，

∵分式要有意义，

∴，即，

∴，即，

∴符合条件的所有整数m的数有3，0，，，

∴符合条件的所有整数的和为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，熟知相关计算方法是解题的关键，解分式方程时一定记得要检验．

14．定义一种新运算，已知，当时，；当时，，若，则______．

【答案】12或

【分析】分和两种情况分别按照新运算法则计算即可．

【详解】解：当时，，解得：，经检验是原方程的解；

当时，，解得：，经检验是原方程的解．

故答案为12或．

【点睛】本题主要考查了解分式方程、有理数的混合运算等知识点，理解新定义的新运算是解题的关键．

15．现有甲，乙，丙三种糖混合而成的什锦糖千克，其中各种糖的千克数和单价如下表．

甲种糖乙种糖丙种糖

千克数

单价（元/千克）

商店以糖的平均价（平均价＝混合糖的总价格÷混合糖的总千克数）作为什锦糖的单价，要使什锦糖的单价每千克提高元，则需再加入丙种糖____千克．

【答案】

【分析】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，用总价除以总量就是什锦糖的单价，根据题意列方程求解即可．

【详解】设加入丙种糖千克，则什锦糖的总量为：千克，根据题意得：

，解得：，

经检验：是原分式方程的解，

∴需再加入丙种糖千克，

故答案为：．

【点睛】此题考查了分式方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．

16．材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．材料二：一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数学与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若，，则记．若s，t都是“双巧数”，其中，，（，且x，y，z，m，n，r均为整数），规定，则________；当时，的最大值为________．

【答案】4

【分析】根据定义求出，，利用即可得到；按照定义求出，进一步计算即可得到的最大值．

【详解】解：当时，

∴，，

∴，

∵，

，

，

；

，

，

，

，

∴，

∵，即，解得，

∴，

∵s是“双巧数”，

∴，解得，

∵，

即，解得，且y是正整数，

∴y的最大值为2，

∴，

若要使最大，

则其分母最小，分子最大，且为正数，,

∴y取2，此时，

∴的最大值为．

故答案为：4，

【点睛】此题主要考查了数字问题，两位数和三位数的表示，新定义，掌握新定义“巧数”是解本题的关键．

17．若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是___________．

【答案】

【分析】先按照不等式组的性质求出不等式的解集，进而确定取值范围；再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出的值，最后求和即可．

【详解】解：，

解不等式①得，

解不等式②得，

不等式的解集为：，

．

解分式方程，

方程两边同时乘以得，，

解得：．

，

，

，

．

分式方程有非负整数解，

，，

且，

的值为：0，1．

对应的值为：，．

符合条件的所有的取值之和为：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，解题的关键在于求出取值范围以及求出分式方程的解．

18．关于x的分式方程的解为正数，且关于的不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的值之和是______．

【答案】

【分析】根据分式方程的解法及一元一次不等式组的解法，按照题意列出关于参数的不等式求解即可得到答案．

【详解】解：解分式方程得到，

关于x的分式方程的解为正数，

，解得；

解不等式组，由①得到；由②得到；

关于的不等式组的解集为，

由不等式组解集的求法可得，解得；

综上所述，，

满足的正整数为，即所有满足条件的整数的值之和是，

故答案为：．

【点睛】本题考查含参数分式方程及含参数一元一次不等式组求参数问题，熟练掌握分式方程解法及一元一次不等式组的解法是解决问题的关键．

19．若关于的方程的解为正数，则的取值范围是______．

【答案】且

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出的范围即可．

【详解】解：去分母得：，

解得：，

由分式方程的解为正数，得到且，

解得：且，

故答案为：且．

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，解此题的关键是注意分母不为这个条件．

20．定义：两正数，之间的一种运算，记作；若，则．例如：因为，所以．

（1）根据上述规定，填空：＝_______；

（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：．

小明给出了如下的证明：设，则根据定义，得，即所以，即，所以．

请你尝试运用这种方法解决问题：已知a、m、n均为正数，填空：_______

【答案】/

【分析】（1）根据零指数幂即可求解；

（2）设，，根据新定义可得，即可求解．

【详解】（1）∵，

∴，

故答案为：．

（2）设，

∴

∴

∴

即，

故答案为：．

【点睛】本题考查了新定义运算，零指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题

21．2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？

【答案】甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元

【分析】设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价为元，根据题意列分式方程求解，即可得到答案．

【详解】解：设乙种图书每本的进价为x元，则甲种图书每本的进价为元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，且符合题意，

则，

答：甲种图书每本的进价为45元，乙种图书每本的进价为30元．

【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意正确列出分式方程是解题关键．

22．甲、乙两小区准备安装两款智能快递柜，每个款能满足快递需求人数比款多人．已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有人、人．如果甲小区全部安装款智能快递柜，乙小区全部安装款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同．

(1)设每个款能满足快递需求人数为人，求的值．

(2)如果甲小区安装款和款智能快递柜共个，其中安装款的个数比安装款的倍还多个，分别求甲小区款和款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求．

(3)已知购买款需元/个，购买款需元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由．

【答案】(1)；

(2)甲小区安装款为个，安装款为个，这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求；

(3)安装款智能快递柜个时，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省；

【分析】（1）设每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人，根据题意列方程即可解答；

（2）设甲小区安装款为个，安装款为个，根据题意列方程即可解答；

（3）设安装款智能快递柜为个，安装款智能快递柜个，总费用为元，根据题意一次函数，再根据一次函数的性质即可解答．

【详解】（1）解：设每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人，根据题意可得，，

解得：，

经检验，是原分式方程的解，

∴原分式方程的解为，

∴，

故的值为．

（2）解：设甲小区安装款为个，安装款为个，根据题意可知，

，

解得：，

∴安装款为个，

∴甲小区安装款为个，安装款为个，

∵每个款能满足快递需求人数为人，每个款能满足快递需求的人数为人

∴能够满足快递需求的人数为（人），

∵，

∴这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求．

（3）解：设安装款智能快递柜为个，安装款智能快递柜个，总费用为元，根据题意可知，

，

整理得，

由变形可得，

将代入可得，，

∵，

∴，

∵，

∴随的增大而减小，

∴当时，有最小值，最小值为（元），

此时，

∴安装款智能快递柜个时，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省．

【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次方程与实际问题，一次函数与实际问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．

23．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1500元，购进乙种粽子的金额是1000元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．

(1)求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？

(2)为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1450元，问最多购进多少个甲种粽子？

【答案】(1)甲种粽子的单价为10元，乙种粽子的单价为5元

(2)最多购进90个甲种粽子

【分析】（1）设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，根据等量关系：购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，列出分式方程即可；

（2）设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200-m）个，根据不等关系：总金额不超过1450元，列出不等式即可求解．

【详解】（1）解：设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的单价为2x元，

依题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

则，

答：甲种粽子的单价为10元，乙种粽子的单价为5元．

（2）解：设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200-m）个，

依题意得：，

解得：，

答：最多购进90个甲种粽子．

【点睛】本题考查了分式方程与一元一次不等式的实际应用，理解题意，找到关系式并正确列出方程与不等式是解题的关键，注意分式方程要检验．

24．先化简，再求值：，其中m为满足的整数．

【答案】，

【分析】先将括号里面进行通分，除法改写为乘法，分子分母进行因式分解，再化简，根据分式有意义的条件，选择合适的m，代入求值即可．

【详解】解：原式

，

∵，

∴，

∵m为满足的整数，

∴，

当时，原式．

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序，以及分式有意义的条件：分母不能为0．

25．成都环城生态公园项目是天府绿道体系“三环”中的重要一环，按照总体规划，环城生态公园项目将建成“5421”体系，让环城生态公园成为“绿色田园、天然公园、市民乐园”．在成都某个生态公园建设工程中，甲队单独施工50天可以完成该项工程，若甲队施工23天之后乙队加入，两队还需再同时施工12天，才能完成该项工程．若乙队单独施工完成此项工程需要多少天？

【答案】乙队单独施工完成此项工程需要40天

【分析】设乙队单独施工完成此项工程需要x天，根据甲队施工23天之后乙队加入，两队还需再同时施工12天完成该项工程列出方程求解即可．

【详解】解：设乙队单独施工完成此项工程需要x天，

由题意得，，

解得，

经检验，是原方程的解，

答：乙队单独施工完成此项工程需要40天．

【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．

26．为了迎接在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干吉祥物钥匙扣和明信片，已知吉祥物钥匙扣的进价为20元/个，明信片的进价为5元/套．一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．若顾客花180元购买的吉祥物钥匙扣数量与花60元购买的明信片数量相同．

(1)求吉祥物钥匙扣和明信片的售价．

(2)为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行9折销售．某顾客同时购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干件，商家获毛利润100元，请问有几种购买方案．

【答案】(1)吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元

(2)有2种购买方案

【分析】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元，根据题意列出方程求解即可．

（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个，求方程的整数解即可．

【详解】（1）设吉祥物钥匙扣的售价为x元，则明信片的售价为元，

由题意得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意，

则；

答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．

（2）设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n个．

由题意得：，

整理得：，

∵m、n为正整数，

∴或，

答：有2种购买方案．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的整数解，熟练掌握解分式方程，求方程的整数解是解题的关键．

27．为提升城市形象，缓解交通拥堵状况，某市积极实施城市快速路整修工程．现有甲、乙两个工程队参与整修．已知甲工程队单独整修600米道路与乙工程队单独整修750米道路所用天数相同，乙队每天比甲队多整修30米．

(1)甲、乙两队每天各整修道路多少米？

(2)这段快速路全长3000米．现由甲、乙两工程队从两端同时整修，各用了正整数天完成了任务，且甲工程队修路的天数不足15天，问甲、乙两工程队各修了多少天？

【答案】(1)甲120米，乙150米

(2)甲、乙两个工程队分别修了5天、16天或10天、12天

【分析】（1）设甲每天整修道路米，则乙每天修道路米，根据“甲工程队单独整修600米道路与乙工程队单独整修750米道路所用天数相同”列出分式方程，解方程即可得到答案；

（2）设甲工程队修了天，乙工程队修了天，则由题意得：，即可得到，由，且都为整数，可得的值，从而得到答案．

【详解】（1）解：设甲每天整修道路米，则乙每天修道路米，

根据题意可得：，

解得：，

经检验：是原方程的解，并满足题意，

，

答：甲每天整修道路120米，乙每天修道路150米；

（2）解：设甲工程队修了天，乙工程队修了天，

则由题意得：，

∴，

∵，且都为整数，

或，

答：甲、乙两个工程队分别修了5天、16天或10天、12天．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用一元一次不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程、二元一次方程及一元一次不等式，是解题的关键．

28．先化简，再求值：，其中，

【答案】，22

【分析】先计算括号内的乘法运算，合并同类项，最后计算除法运算，再化简未知数的值，再代入计算即可．

【详解】解：

，

∵，，

∴原式

．

【点睛】本题考查的是整式的加减乘除混合运算，平方差公式与完全平方公式的应用，零次幂，负整数指数幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键．

29．北仑的虾年糕洁白如玉，柔软且有嚼劲．因其使用了当地甘甜清澈的虾龙潭山泉水浸泡制作，故而取名虾年糕．如今，虾年糕的品牌越打越响，虾年糕也从普通白年糕发展到艾草年糕、桂花年糕、番